Страница 28 номер 3.13, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(9^{x + 1} - 2 \cdot 3^{x} - 7 \le 0\); 2) \(2^{x} + 2^{\frac{x}{2}} - 72 \ge 0\); 3) \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} - 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + 2 > 0\); 4) \(25^{x} - 26 \cdot 5^{x} + 25 \le 0\).
1) \(9^{x + 1} = 9 \cdot \left(3^{x}\right)^{2}\); \(3^{x} = t\), \(t > 0\): \(9t^{2} - 2t - 7 \leqslant 0\); дискриминант \(4 + 252 = 256\), корни \(t = \frac{2 \pm 16}{18}\), то есть \(-\frac{7}{9}\) и 1, поэтому \(-\frac{7}{9} \leqslant t \leqslant 1\).
Неравенство \(3^{x} \geqslant -\frac{7}{9}\) выполняется при всех \(x\), остаётся \(3^{x} \leqslant 3^{0}\); основание 3 больше единицы, поэтому \(x \leqslant 0\).
2) \(2^{x} = \left(2^{\frac{x}{2}}\right)^{2}\); \(2^{\frac{x}{2}} = t\), \(t > 0\): \(t^{2} + t - 72 \geqslant 0\); корни \(-9\) и 8, поэтому \(t \leqslant -9\) или \(t \geqslant 8\).
Неравенство \(2^{\frac{x}{2}} \leqslant -9\) решений не имеет; остаётся \(2^{\frac{x}{2}} \geqslant 2^{3}\), а основание больше единицы, поэтому \(\frac{x}{2} \geqslant 3\), откуда \(x \geqslant 6\).
3) \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right)^{2}\); \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = t\), \(t > 0\): \(t^{2} - 3t + 2 > 0\); корни 1 и 2, поэтому \(t < 1\) или \(t > 2\).
Если \(t < 1\), то \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < \left(\frac{1}{2}\right)^{0}\); так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), то \(x > 0\).
Если \(t > 2\), то \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} > \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\); так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), то \(x < -1\).
4) \(25^{x} = \left(5^{x}\right)^{2}\); \(5^{x} = t\): \(t^{2} - 26t + 25 \leqslant 0\); корни 1 и 25, поэтому \(1 \leqslant t \leqslant 25\), то есть \(5^{0} \leqslant 5^{x} \leqslant 5^{2}\); основание 5 больше единицы, поэтому \(0 \leqslant x \leqslant 2\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 0]\); 2) \([6;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -1) \cup (0;\ +\infty)\); 4) \([0;\ 2]\).
Решите неравенство: 1) \(9^{x + 1} - 2 \cdot 3^{x} - 7 \le 0\); 2) \(2^{x} + 2^{\frac{x}{2}} - 72 \ge 0\); 3) \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} - 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x} + 2 > 0\); 4) \(25^{x} - 26 \cdot 5^{x} + 25 \le 0\).
1) Так как \(9^{x + 1} = 9 \cdot 9^{x} = 9 \cdot \left(3^{x}\right)^{2}\), положим \(3^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и \(9t^{2} - 2t - 7 \leqslant 0\). Дискриминант трёхчлена \(9t^{2} - 2t - 7\) равен \(4 + 252 = 256\), его корни \(t = \frac{2 \pm 16}{18}\), то есть \(-\frac{7}{9}\) и 1. Значит, \(-\frac{7}{9} \leqslant t \leqslant 1\).
Так как \(3^{x} > 0\), то неравенство \(3^{x} \geqslant -\frac{7}{9}\) выполняется при всех \(x\), поэтому достаточно решить неравенство \(3^{x} \leqslant 1\), то есть \(3^{x} \leqslant 3^{0}\). Так как основание 3 больше единицы, то \(x \leqslant 0\).
2) Так как \(2^{x} = \left(2^{\frac{x}{2}}\right)^{2}\), положим \(2^{\frac{x}{2}} = t\). Тогда \(t > 0\) и \(t^{2} + t - 72 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} + t - 72\) — числа \(-9\) и 8, поэтому \(t \leqslant -9\) или \(t \geqslant 8\).
Неравенство \(2^{\frac{x}{2}} \leqslant -9\) решений не имеет. Из неравенства \(2^{\frac{x}{2}} \geqslant 2^{3}\) при основании, большем единицы, получаем \(\frac{x}{2} \geqslant 3\), откуда \(x \geqslant 6\).
3) Так как \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right)^{x} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right)^{2}\), положим \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и \(t^{2} - 3t + 2 > 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} - 3t + 2\) — числа 1 и 2, поэтому \(t < 1\) или \(t > 2\).
Если \(t < 1\), то \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < \left(\frac{1}{2}\right)^{0}\); так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), то \(x > 0\).
Если \(t > 2\), то \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} > \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\); так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), то \(x < -1\).
4) Так как \(25^{x} = \left(5^{x}\right)^{2}\), положим \(5^{x} = t\). Тогда \(t^{2} - 26t + 25 \leqslant 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} - 26t + 25\) — числа 1 и 25, поэтому \(1 \leqslant t \leqslant 25\).
Отсюда \(5^{0} \leqslant 5^{x} \leqslant 5^{2}\). Так как основание 5 больше единицы, то \(0 \leqslant x \leqslant 2\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 0]\); 2) \([6;\ +\infty)\); 3) \((-\infty;\ -1) \cup (0;\ +\infty)\); 4) \([0;\ 2]\).
