Страница 23 номер 2.28, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(3^{x} = 11 - x\); 2) \(8^{5 - x} = x + 4\); 3) \(4^{x - 2} + 6^{x - 3} = 100\); 4) \(3^{x - 2} = \frac{9}{x}\).
1) Уравнение равносильно уравнению \(3^{x} + x = 11\); функция \(f(x) = 3^{x} + x\) возрастает как сумма возрастающих функций, поэтому каждое своё значение принимает один раз.
\(f(2) = 3^{2} + 2 = 11\), значит, \(x = 2\) — единственный корень.
2) Уравнение равносильно уравнению \(8^{5 - x} - x = 4\).
Так как \(8^{5 - x} = 8^{5} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{x}\), а основание \(\frac{1}{8}\) меньше единицы, функция \(y = 8^{5 - x}\) убывает; функция \(y = -x\) тоже убывает, поэтому \(f(x) = 8^{5 - x} - x\) убывает и каждое своё значение принимает один раз.
\(f(4) = 8^{1} - 4 = 4\), значит, \(x = 4\) — единственный корень.
3) Функция \(f(x) = 4^{x - 2} + 6^{x - 3}\) возрастает как сумма возрастающих функций, поэтому каждое своё значение принимает один раз.
\(f(5) = 4^{3} + 6^{2} = 64 + 36 = 100\), значит, \(x = 5\) — единственный корень.
4) Уравнение имеет смысл при \(x \ne 0\).
При \(x < 0\) корней нет: левая часть \(3^{x - 2}\) положительна, а правая часть \(\frac{9}{x}\) отрицательна.
При \(x > 0\) уравнение равносильно уравнению \(3^{x - 2} - \frac{9}{x} = 0\). Функция \(y = 3^{x - 2}\) возрастает; функция \(y = -\frac{9}{x}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\) тоже возрастает, так как с увеличением \(x\) дробь \(\frac{9}{x}\) убывает. Значит, \(f(x) = 3^{x - 2} - \frac{9}{x}\) возрастает на \((0;\ +\infty)\) и каждое своё значение принимает один раз.
\(f(3) = 3^{1} - \frac{9}{3} = 0\), значит, \(x = 3\) — единственный корень.
Ответ: 1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 3.
Решите уравнение: 1) \(3^{x} = 11 - x\); 2) \(8^{5 - x} = x + 4\); 3) \(4^{x - 2} + 6^{x - 3} = 100\); 4) \(3^{x - 2} = \frac{9}{x}\).
1) Данное уравнение равносильно уравнению \(3^{x} + x = 11\).
Функция \(f(x) = 3^{x} + x\) возрастает как сумма двух возрастающих функций, а следовательно, каждое своё значение она принимает только один раз.
Так как \(f(2) = 3^{2} + 2 = 11\), то \(x = 2\) — единственный корень.
2) Данное уравнение равносильно уравнению \(8^{5 - x} - x = 4\).
Так как \(8^{5 - x} = 8^{5} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{x}\), а основание \(\frac{1}{8}\) меньше единицы, функция \(y = 8^{5 - x}\) убывающая. Функция \(y = -x\) также убывающая, поэтому функция \(f(x) = 8^{5 - x} - x\) убывает и каждое своё значение принимает только один раз.
Так как \(f(4) = 8^{1} - 4 = 4\), то \(x = 4\) — единственный корень.
3) Функция \(f(x) = 4^{x - 2} + 6^{x - 3}\) возрастает как сумма двух возрастающих функций, а следовательно, каждое своё значение она принимает только один раз.
Так как \(f(5) = 4^{3} + 6^{2} = 64 + 36 = 100\), то \(x = 5\) — единственный корень.
4) Уравнение имеет смысл при \(x \ne 0\).
При \(x < 0\) левая часть уравнения положительна (\(3^{x - 2} > 0\) при любом \(x\)), а правая часть \(\frac{9}{x}\) отрицательна, поэтому отрицательных корней уравнение не имеет.
При \(x > 0\) данное уравнение равносильно уравнению \(3^{x - 2} - \frac{9}{x} = 0\). Функция \(y = 3^{x - 2}\) возрастающая; функция \(y = -\frac{9}{x}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\) тоже возрастает, так как с увеличением \(x\) дробь \(\frac{9}{x}\) убывает. Значит, функция \(f(x) = 3^{x - 2} - \frac{9}{x}\) возрастает на промежутке \((0;\ +\infty)\) и каждое своё значение принимает только один раз.
Так как \(f(3) = 3^{1} - \frac{9}{3} = 0\), то \(x = 3\) — единственный корень.
Ответ: 1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 3.
