Страница 28 номер 3.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите множество решений неравенства: 1) \(3^{x} - 9 \cdot 3^{-x} - 8 > 0\); 2) \(2^{x + 3} + 2^{1 - x} < 17\); 3) \(6^{x + 2} + 6^{-x} - 37 \ge 0\); 4) \(\left(\frac{3}{5}\right)^{x + 1} + \left(\frac{3}{5}\right)^{1 - x} \le \frac{6}{5}\).
1) \(3^{-x} = \frac{1}{3^{x}}\); \(3^{x} = t\), \(t > 0\): \(t - \frac{9}{t} - 8 > 0\); умножим на положительное \(t\): \(t^{2} - 8t - 9 > 0\); корни \(-1\) и 9, поэтому \(t < -1\) или \(t > 9\).
Неравенство \(3^{x} < -1\) решений не имеет; остаётся \(3^{x} > 3^{2}\), а основание больше единицы, поэтому \(x > 2\).
2) \(2^{x + 3} = 8 \cdot 2^{x}\), \(2^{1 - x} = \frac{2}{2^{x}}\); \(2^{x} = t\), \(t > 0\): \(8t + \frac{2}{t} < 17\); умножим на положительное \(t\): \(8t^{2} - 17t + 2 < 0\); дискриминант \(289 - 64 = 225\), корни \(t = \frac{17 \pm 15}{16}\), то есть \(\frac{1}{8}\) и 2, поэтому \(\frac{1}{8} < t < 2\).
Отсюда \(2^{-3} < 2^{x} < 2^{1}\); основание 2 больше единицы, поэтому \(-3 < x < 1\).
3) \(6^{x + 2} = 36 \cdot 6^{x}\), \(6^{-x} = \frac{1}{6^{x}}\); \(6^{x} = t\), \(t > 0\): \(36t + \frac{1}{t} - 37 \geqslant 0\); умножим на положительное \(t\): \(36t^{2} - 37t + 1 \geqslant 0\); дискриминант \(1369 - 144 = 1225\), корни \(t = \frac{37 \pm 35}{72}\), то есть \(\frac{1}{36}\) и 1, поэтому \(t \leqslant \frac{1}{36}\) или \(t \geqslant 1\).
Если \(t \leqslant \frac{1}{36}\), то \(6^{x} \leqslant 6^{-2}\), откуда при основании, большем единицы, \(x \leqslant -2\).
Если \(t \geqslant 1\), то \(6^{x} \geqslant 6^{0}\), откуда \(x \geqslant 0\).
4) \(\left(\frac{3}{5}\right)^{x + 1} = \frac{3}{5} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{x}\), \(\left(\frac{3}{5}\right)^{1 - x} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\left(\frac{3}{5}\right)^{x}}\); \(\left(\frac{3}{5}\right)^{x} = t\), \(t > 0\): \(\frac{3}{5}\left(t + \frac{1}{t}\right) \leqslant \frac{6}{5}\); разделим на положительное \(\frac{3}{5}\): \(t + \frac{1}{t} \leqslant 2\).
При \(t > 0\) верно равенство \(t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{(t - 1)^{2}}{t}\), а такая дробь неотрицательна, поэтому \(t + \frac{1}{t} \geqslant 2\), причём равенство достигается только при \(t = 1\).
Значит, \(t = 1\), то есть \(\left(\frac{3}{5}\right)^{x} = \left(\frac{3}{5}\right)^{0}\), откуда \(x = 0\).
Ответ: 1) \((2;\ +\infty)\); 2) \((-3;\ 1)\); 3) \((-\infty;\ -2] \cup [0;\ +\infty)\); 4) \(\{0\}\).
Найдите множество решений неравенства: 1) \(3^{x} - 9 \cdot 3^{-x} - 8 > 0\); 2) \(2^{x + 3} + 2^{1 - x} < 17\); 3) \(6^{x + 2} + 6^{-x} - 37 \ge 0\); 4) \(\left(\frac{3}{5}\right)^{x + 1} + \left(\frac{3}{5}\right)^{1 - x} \le \frac{6}{5}\).
1) Так как \(3^{-x} = \frac{1}{3^{x}}\), положим \(3^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и неравенство принимает вид \(t - \frac{9}{t} - 8 > 0\). Умножив обе части на положительное число \(t\), получим равносильное неравенство \(t^{2} - 8t - 9 > 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} - 8t - 9\) — числа \(-1\) и 9, поэтому \(t < -1\) или \(t > 9\).
Так как \(3^{x} > 0\), то неравенство \(3^{x} < -1\) решений не имеет. Остаётся неравенство \(3^{x} > 3^{2}\), которое при основании, большем единицы, равносильно неравенству \(x > 2\).
2) Так как \(2^{x + 3} = 8 \cdot 2^{x}\) и \(2^{1 - x} = \frac{2}{2^{x}}\), положим \(2^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и \(8t + \frac{2}{t} < 17\). Умножив обе части на положительное число \(t\), получим равносильное неравенство \(8t^{2} - 17t + 2 < 0\). Дискриминант трёхчлена \(8t^{2} - 17t + 2\) равен \(289 - 64 = 225\), его корни \(t = \frac{17 \pm 15}{16}\), то есть \(\frac{1}{8}\) и 2. Значит, \(\frac{1}{8} < t < 2\).
Отсюда \(2^{-3} < 2^{x} < 2^{1}\). Так как основание 2 больше единицы, то \(-3 < x < 1\).
3) Так как \(6^{x + 2} = 36 \cdot 6^{x}\) и \(6^{-x} = \frac{1}{6^{x}}\), положим \(6^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и \(36t + \frac{1}{t} - 37 \geqslant 0\). Умножив обе части на положительное число \(t\), получим равносильное неравенство \(36t^{2} - 37t + 1 \geqslant 0\). Дискриминант трёхчлена \(36t^{2} - 37t + 1\) равен \(1369 - 144 = 1225\), его корни \(t = \frac{37 \pm 35}{72}\), то есть \(\frac{1}{36}\) и 1. Значит, \(t \leqslant \frac{1}{36}\) или \(t \geqslant 1\).
Если \(t \leqslant \frac{1}{36}\), то \(6^{x} \leqslant 6^{-2}\), откуда при основании, большем единицы, \(x \leqslant -2\).
Если \(t \geqslant 1\), то \(6^{x} \geqslant 6^{0}\), откуда \(x \geqslant 0\).
4) Так как \(\left(\frac{3}{5}\right)^{x + 1} = \frac{3}{5} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{x}\) и \(\left(\frac{3}{5}\right)^{1 - x} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\left(\frac{3}{5}\right)^{x}}\), положим \(\left(\frac{3}{5}\right)^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и \(\frac{3}{5}\left(t + \frac{1}{t}\right) \leqslant \frac{6}{5}\). Разделив обе части на положительное число \(\frac{3}{5}\), получим равносильное неравенство \(t + \frac{1}{t} \leqslant 2\).
При \(t > 0\) верно равенство \(t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{t^{2} - 2t + 1}{t} = \frac{(t - 1)^{2}}{t}\), а такая дробь неотрицательна, поскольку её числитель — квадрат, а знаменатель положителен. Значит, при всех положительных значениях \(t\) выполняется неравенство \(t + \frac{1}{t} \geqslant 2\), причём равенство достигается только при \(t = 1\).
Следовательно, неравенство \(t + \frac{1}{t} \leqslant 2\) выполняется только при \(t = 1\). Тогда \(\left(\frac{3}{5}\right)^{x} = \left(\frac{3}{5}\right)^{0}\), откуда \(x = 0\).
Ответ: 1) \((2;\ +\infty)\); 2) \((-3;\ 1)\); 3) \((-\infty;\ -2] \cup [0;\ +\infty)\); 4) \(\{0\}\).
