Страница 27 номер 3.10, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(7^{x + 2} - 14 \cdot 7^{x} = 7^{x}\left(7^{2} - 14\right) = 35 \cdot 7^{x}\), поэтому \(35 \cdot 7^{x} > 5\); \(7^{x} > \frac{1}{7}\); \(7^{x} > 7^{-1}\). Основание больше единицы, поэтому \(x > -1\).
2) \(9 \cdot 3^{x - 1} + 3^{x} = 3^{x - 1}(9 + 3) = 12 \cdot 3^{x - 1}\), поэтому \(12 \cdot 3^{x - 1} < 36\); \(3^{x - 1} < 3^{1}\). Основание больше единицы, поэтому \(x - 1 < 1\); \(x < 2\).
3) \(2^{x} + 2^{x - 1} + 2^{x - 2} = 2^{x - 2}\left(2^{2} + 2 + 1\right) = 7 \cdot 2^{x - 2}\), поэтому \(7 \cdot 2^{x - 2} > 56\); \(2^{x - 2} > 8\); \(2^{x - 2} > 2^{3}\). Основание больше единицы, поэтому \(x - 2 > 3\); \(x > 5\).
4) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x - 1} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x + 1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{x - 1}\left(1 + \left(\frac{1}{5}\right)^{2}\right) = \frac{26}{25}\left(\frac{1}{5}\right)^{x - 1}\), поэтому \(\frac{26}{25}\left(\frac{1}{5}\right)^{x - 1} \geqslant 26\); \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x - 1} \geqslant 25\); \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x - 1} \geqslant \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}\). Так как \(0 < \frac{1}{5} < 1\), знак меняется: \(x - 1 \leqslant -2\); \(x \leqslant -1\).
5) \(2 \cdot 6^{x} + 3 \cdot 6^{x + 3} = 6^{x}\left(2 + 3 \cdot 6^{3}\right) = 6^{x}(2 + 648) = 650 \cdot 6^{x}\), поэтому \(650 \cdot 6^{x} \leqslant 650\); \(6^{x} \leqslant 6^{0}\). Основание больше единицы, поэтому \(x \leqslant 0\).
6) \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x} - \left(\frac{3}{4}\right)^{x + 1} = \left(\frac{3}{4}\right)^{x}\left(1 - \frac{3}{4}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{x}\), поэтому \(\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{x} > \frac{3}{16}\); \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x} > \frac{3}{4}\); \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x} > \left(\frac{3}{4}\right)^{1}\). Так как \(0 < \frac{3}{4} < 1\), знак меняется: \(x < 1\).
Ответ: 1) \((-1;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 2)\); 3) \((5;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ -1]\); 5) \((-\infty;\ 0]\); 6) \((-\infty;\ 1)\).
1) Вынесем в левой части за скобки степень с наименьшим показателем: \(7^{x + 2} - 14 \cdot 7^{x} = 7^{x}\left(7^{2} - 14\right) = 35 \cdot 7^{x}\). Получаем неравенство \(35 \cdot 7^{x} > 5\), то есть \(7^{x} > \frac{1}{7}\); \(7^{x} > 7^{-1}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(x > -1\).
2) Вынесем в левой части за скобки степень с наименьшим показателем: \(9 \cdot 3^{x - 1} + 3^{x} = 3^{x - 1}(9 + 3) = 12 \cdot 3^{x - 1}\). Получаем неравенство \(12 \cdot 3^{x - 1} < 36\), то есть \(3^{x - 1} < 3^{1}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(x - 1 < 1\); \(x < 2\).
3) Вынесем в левой части за скобки степень с наименьшим показателем: \(2^{x} + 2^{x - 1} + 2^{x - 2} = 2^{x - 2}\left(2^{2} + 2 + 1\right) = 7 \cdot 2^{x - 2}\). Получаем неравенство \(7 \cdot 2^{x - 2} > 56\), то есть \(2^{x - 2} > 8\); \(2^{x - 2} > 2^{3}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(x - 2 > 3\); \(x > 5\).
4) Вынесем в левой части за скобки степень с наименьшим показателем: \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x - 1} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x + 1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{x - 1}\left(1 + \left(\frac{1}{5}\right)^{2}\right) = \frac{26}{25}\left(\frac{1}{5}\right)^{x - 1}\). Получаем неравенство \(\frac{26}{25}\left(\frac{1}{5}\right)^{x - 1} \geqslant 26\), то есть \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x - 1} \geqslant 25\); \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x - 1} \geqslant \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}\). Так как \(0 < \frac{1}{5} < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(x - 1 \leqslant -2\); \(x \leqslant -1\).
5) Вынесем в левой части за скобки степень с наименьшим показателем: \(2 \cdot 6^{x} + 3 \cdot 6^{x + 3} = 6^{x}\left(2 + 3 \cdot 6^{3}\right) = 6^{x}(2 + 648) = 650 \cdot 6^{x}\). Получаем неравенство \(650 \cdot 6^{x} \leqslant 650\), то есть \(6^{x} \leqslant 6^{0}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(x \leqslant 0\).
6) Вынесем в левой части за скобки степень с наименьшим показателем: \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x} - \left(\frac{3}{4}\right)^{x + 1} = \left(\frac{3}{4}\right)^{x}\left(1 - \frac{3}{4}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{x}\). Получаем неравенство \(\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{x} > \frac{3}{16}\), то есть \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x} > \frac{3}{4}\); \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x} > \left(\frac{3}{4}\right)^{1}\). Так как \(0 < \frac{3}{4} < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(x < 1\).
Ответ: 1) \((-1;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 2)\); 3) \((5;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ -1]\); 5) \((-\infty;\ 0]\); 6) \((-\infty;\ 1)\).
