Страница 28 номер 3.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x} + 3} > 84\); 2) \(2 \cdot 16^{x} - 3 \cdot 2^{4x - 1} + 7 \cdot 4^{2x - 2} \le 120\).
1) Выражение \(\frac{1}{x}\) определено при \(x \ne 0\).
\(3^{\frac{1}{x} + 3} = 27 \cdot 3^{\frac{1}{x}}\), поэтому \(3^{\frac{1}{x}}(1 + 27) > 84\); \(28 \cdot 3^{\frac{1}{x}} > 84\); \(3^{\frac{1}{x}} > 3\); основание больше единицы, поэтому \(\frac{1}{x} > 1\).
\(\frac{1}{x} - 1 > 0\); \(\frac{1 - x}{x} > 0\); числитель обращается в нуль при \(x = 1\), знаменатель — при \(x = 0\), и методом интервалов получаем \(0 < x < 1\).
2) \(16^{x} = 2^{4x}\), \(4^{2x - 2} = 2^{4x - 4}\), и неравенство принимает вид \(2 \cdot 2^{4x} - 3 \cdot 2^{4x - 1} + 7 \cdot 2^{4x - 4} \leqslant 120\).
Так как \(2 \cdot 2^{4x} = 2^{5} \cdot 2^{4x - 4}\) и \(3 \cdot 2^{4x - 1} = 3 \cdot 2^{3} \cdot 2^{4x - 4}\), то \(2^{4x - 4}(32 - 24 + 7) \leqslant 120\); \(15 \cdot 2^{4x - 4} \leqslant 120\); \(2^{4x - 4} \leqslant 2^{3}\); основание больше единицы, поэтому \(4x - 4 \leqslant 3\); \(4x \leqslant 7\); \(x \leqslant \frac{7}{4}\).
Ответ: 1) \((0;\ 1)\); 2) \(\left(-\infty;\ \frac{7}{4}\right]\).
Решите неравенство: 1) \(3^{\frac{1}{x}} + 3^{\frac{1}{x} + 3} > 84\); 2) \(2 \cdot 16^{x} - 3 \cdot 2^{4x - 1} + 7 \cdot 4^{2x - 2} \le 120\).
1) Выражение \(\frac{1}{x}\) определено при \(x \ne 0\).
Так как \(3^{\frac{1}{x} + 3} = 27 \cdot 3^{\frac{1}{x}}\), вынесем степень \(3^{\frac{1}{x}}\) за скобки: \(3^{\frac{1}{x}}(1 + 27) > 84\); \(28 \cdot 3^{\frac{1}{x}} > 84\); \(3^{\frac{1}{x}} > 3\).
Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(\frac{1}{x} > 1\).
Отсюда \(\frac{1}{x} - 1 > 0\); \(\frac{1 - x}{x} > 0\). Числитель этой дроби обращается в нуль при \(x = 1\), знаменатель — при \(x = 0\); методом интервалов получаем, что дробь положительна при \(0 < x < 1\).
2) Приведём все степени к основанию 2: \(16^{x} = 2^{4x}\), \(4^{2x - 2} = \left(2^{2}\right)^{2x - 2} = 2^{4x - 4}\).
Данное неравенство принимает вид \(2 \cdot 2^{4x} - 3 \cdot 2^{4x - 1} + 7 \cdot 2^{4x - 4} \leqslant 120\).
Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, учитывая, что \(2 \cdot 2^{4x} = 2^{5} \cdot 2^{4x - 4}\) и \(3 \cdot 2^{4x - 1} = 3 \cdot 2^{3} \cdot 2^{4x - 4}\): \(2^{4x - 4}(32 - 24 + 7) \leqslant 120\); \(15 \cdot 2^{4x - 4} \leqslant 120\); \(2^{4x - 4} \leqslant 8\); \(2^{4x - 4} \leqslant 2^{3}\).
Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(4x - 4 \leqslant 3\). Отсюда \(4x \leqslant 7\); \(x \leqslant \frac{7}{4}\).
Ответ: 1) \((0;\ 1)\); 2) \(\left(-\infty;\ \frac{7}{4}\right]\).
