Страница 28 номер 3.21, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство \(3^{\sqrt{x}} - 3^{2 - \sqrt{x}} \le 8\).
ОДЗ: \(x \geqslant 0\).
\(3^{2 - \sqrt{x}} = \frac{9}{3^{\sqrt{x}}}\); \(3^{\sqrt{x}} = t\), \(t > 0\): \(t - \frac{9}{t} \leqslant 8\); умножим на положительное \(t\): \(t^{2} - 8t - 9 \leqslant 0\); корни \(-1\) и 9, поэтому \(-1 \leqslant t \leqslant 9\).
Неравенство \(3^{\sqrt{x}} \geqslant -1\) выполняется при всех допустимых значениях переменной, остаётся \(3^{\sqrt{x}} \leqslant 3^{2}\); основание 3 больше единицы, поэтому \(\sqrt{x} \leqslant 2\), откуда \(x \leqslant 4\).
Вместе с условием \(x \geqslant 0\) получаем \(0 \leqslant x \leqslant 4\).
Ответ: \([0;\ 4]\).
Решите неравенство \(3^{\sqrt{x}} - 3^{2 - \sqrt{x}} \le 8\).
Выражение \(\sqrt{x}\) определено при \(x \geqslant 0\), поэтому область допустимых значений неравенства — промежуток \([0;\ +\infty)\).
Так как \(3^{2 - \sqrt{x}} = \frac{9}{3^{\sqrt{x}}}\), положим \(3^{\sqrt{x}} = t\). Тогда \(t > 0\) и неравенство принимает вид \(t - \frac{9}{t} \leqslant 8\). Умножив обе части на положительное число \(t\), получим равносильное неравенство \(t^{2} - 8t - 9 \leqslant 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} - 8t - 9\) — числа \(-1\) и 9, поэтому \(-1 \leqslant t \leqslant 9\).
Так как \(3^{\sqrt{x}} > 0\), то неравенство \(3^{\sqrt{x}} \geqslant -1\) выполняется при всех допустимых значениях переменной, поэтому достаточно решить неравенство \(3^{\sqrt{x}} \leqslant 3^{2}\). Так как основание 3 больше единицы, то \(\sqrt{x} \leqslant 2\), откуда \(x \leqslant 4\).
Вместе с условием \(x \geqslant 0\) получаем \(0 \leqslant x \leqslant 4\).
Ответ: \([0;\ 4]\).
