Страница 28 номер 3.20, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство \(2^{\sqrt{x}} - 2^{1 - \sqrt{x}} \le 1\).
ОДЗ: \(x \geqslant 0\).
\(2^{1 - \sqrt{x}} = \frac{2}{2^{\sqrt{x}}}\); \(2^{\sqrt{x}} = t\), \(t > 0\): \(t - \frac{2}{t} \leqslant 1\); умножим на положительное \(t\): \(t^{2} - t - 2 \leqslant 0\); корни \(-1\) и 2, поэтому \(-1 \leqslant t \leqslant 2\).
Неравенство \(2^{\sqrt{x}} \geqslant -1\) выполняется при всех допустимых значениях переменной, остаётся \(2^{\sqrt{x}} \leqslant 2^{1}\); основание 2 больше единицы, поэтому \(\sqrt{x} \leqslant 1\), откуда \(x \leqslant 1\).
Вместе с условием \(x \geqslant 0\) получаем \(0 \leqslant x \leqslant 1\).
Ответ: \([0;\ 1]\).
Решите неравенство \(2^{\sqrt{x}} - 2^{1 - \sqrt{x}} \le 1\).
Выражение \(\sqrt{x}\) определено при \(x \geqslant 0\), поэтому область допустимых значений неравенства — промежуток \([0;\ +\infty)\).
Так как \(2^{1 - \sqrt{x}} = \frac{2}{2^{\sqrt{x}}}\), положим \(2^{\sqrt{x}} = t\). Тогда \(t > 0\) и неравенство принимает вид \(t - \frac{2}{t} \leqslant 1\). Умножив обе части на положительное число \(t\), получим равносильное неравенство \(t^{2} - t - 2 \leqslant 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} - t - 2\) — числа \(-1\) и 2, поэтому \(-1 \leqslant t \leqslant 2\).
Так как \(2^{\sqrt{x}} > 0\), то неравенство \(2^{\sqrt{x}} \geqslant -1\) выполняется при всех допустимых значениях переменной, поэтому достаточно решить неравенство \(2^{\sqrt{x}} \leqslant 2^{1}\). Так как основание 2 больше единицы, то \(\sqrt{x} \leqslant 1\), откуда \(x \leqslant 1\).
Вместе с условием \(x \geqslant 0\) получаем \(0 \leqslant x \leqslant 1\).
Ответ: \([0;\ 1]\).
