Страница 28 номер 3.15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\frac{16 - 4^{x}}{9x^2 + 12x + 4} \ge 0\); 2) \(\frac{5^{x} - 0{,}04}{5 - x} \ge 0\).
1) \(9x^{2} + 12x + 4 = (3x + 2)^{2}\), и при \(x \ne -\frac{2}{3}\) этот квадрат положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя: \(16 - 4^{x} \geqslant 0\), то есть \(4^{x} \leqslant 4^{2}\); основание 4 больше единицы, поэтому \(x \leqslant 2\).
Значение \(x = -\frac{2}{3}\) исключаем: при нём дробь не определена.
2) Дробь определена при \(x \ne 5\); \(0{,}04 = \frac{1}{25} = 5^{-2}\).
Числитель \(5^{x} - 5^{-2}\) обращается в нуль при \(x = -2\); функция \(y = 5^{x}\) возрастающая, поэтому при \(x > -2\) числитель положителен, а при \(x < -2\) — отрицателен. Знаменатель \(5 - x\) положителен при \(x < 5\) и отрицателен при \(x > 5\).
Дробь неотрицательна, когда числитель равен нулю или числитель и знаменатель — числа одного знака: \[\begin{cases} x \geqslant -2, \\ x < 5; \end{cases} \qquad \begin{cases} x \leqslant -2, \\ x > 5. \end{cases}\] Первая система даёт \(-2 \leqslant x < 5\), вторая решений не имеет.
Ответ: 1) \(\left(-\infty;\ -\frac{2}{3}\right) \cup \left(-\frac{2}{3};\ 2\right]\); 2) \([-2;\ 5)\).
Решите неравенство: 1) \(\frac{16 - 4^{x}}{9x^2 + 12x + 4} \ge 0\); 2) \(\frac{5^{x} - 0{,}04}{5 - x} \ge 0\).
1) В знаменателе стоит полный квадрат: \(9x^{2} + 12x + 4 = (3x + 2)^{2}\). Он обращается в нуль при \(x = -\frac{2}{3}\) и положителен при всех остальных значениях переменной, поэтому при \(x \ne -\frac{2}{3}\) знак дроби совпадает со знаком её числителя.
Значит, при \(x \ne -\frac{2}{3}\) данное неравенство равносильно неравенству \(16 - 4^{x} \geqslant 0\), то есть \(4^{x} \leqslant 4^{2}\). Так как основание 4 больше единицы, то \(x \leqslant 2\).
Осталось исключить значение \(x = -\frac{2}{3}\), при котором дробь не определена.
2) Дробь определена при \(x \ne 5\). Представим число \(0{,}04\) в виде степени пятёрки: \(0{,}04 = \frac{1}{25} = 5^{-2}\).
Числитель \(5^{x} - 5^{-2}\) обращается в нуль при \(x = -2\); так как функция \(y = 5^{x}\) возрастающая, то при \(x > -2\) числитель положителен, а при \(x < -2\) — отрицателен. Знаменатель \(5 - x\) положителен при \(x < 5\) и отрицателен при \(x > 5\).
Дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю или числитель и знаменатель — числа одного знака, то есть когда выполняется одна из систем: \[\begin{cases} x \geqslant -2, \\ x < 5; \end{cases} \qquad \begin{cases} x \leqslant -2, \\ x > 5. \end{cases}\] Первая система даёт \(-2 \leqslant x < 5\), вторая решений не имеет.
Ответ: 1) \(\left(-\infty;\ -\frac{2}{3}\right) \cup \left(-\frac{2}{3};\ 2\right]\); 2) \([-2;\ 5)\).
