Страница 23 номер 2.30, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((\sqrt{x} - a)(2^{2x} - 10 \cdot 2^{x} + 16) = 0\) имеет два различных корня?
Уравнение имеет смысл при \(x \geqslant 0\); произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель.
В уравнении \(2^{2x} - 10 \cdot 2^{x} + 16 = 0\) положим \(2^{x} = t\): \(t^2 - 10t + 16 = 0\), откуда \(t = 2\) или \(t = 8\), то есть \(x = 1\) или \(x = 3\). Оба числа неотрицательны, поэтому корни 1 и 3 есть при любом значении параметра.
Уравнение \(\sqrt{x} = a\) при \(a < 0\) корней не имеет, а при \(a \geqslant 0\) имеет единственный корень \(x = a^2\).
Значит, корней ровно два тогда и только тогда, когда уравнение \(\sqrt{x} = a\) либо не имеет корней (\(a < 0\)), либо его корень совпадает с числом 1 (\(a^2 = 1\) и \(a \geqslant 0\), то есть \(a = 1\)) или с числом 3 (\(a^2 = 3\) и \(a \geqslant 0\), то есть \(a = \sqrt{3}\)).
При \(a = 0\) корень \(x = 0\) отличен от чисел 1 и 3, то есть корней становится три, — это значение не подходит.
Ответ: \((-\infty;\ 0) \cup \left\{1,\ \sqrt{3}\right\}\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((\sqrt{x} - a)(2^{2x} - 10 \cdot 2^{x} + 16) = 0\) имеет два различных корня?
Уравнение имеет смысл при \(x \geqslant 0\). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Решим уравнение \(2^{2x} - 10 \cdot 2^{x} + 16 = 0\). Пусть \(2^{x} = t\). Тогда \(t^2 - 10t + 16 = 0\), откуда \(t = 2\) или \(t = 8\). Значит, \(2^{x} = 2^{1}\) или \(2^{x} = 2^{3}\), то есть \(x = 1\) или \(x = 3\). Оба числа неотрицательны, поэтому при любом значении параметра данное уравнение имеет корни 1 и 3.
Уравнение \(\sqrt{x} = a\) при \(a < 0\) корней не имеет, а при \(a \geqslant 0\) имеет единственный корень \(x = a^2\).
Значит, данное уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда уравнение \(\sqrt{x} = a\) либо не имеет корней, либо его корень совпадает с числом 1 или с числом 3:
- \(a < 0\) — корней нет;
- \(a^2 = 1\) и \(a \geqslant 0\), то есть \(a = 1\), — корень совпадает с числом 1;
- \(a^2 = 3\) и \(a \geqslant 0\), то есть \(a = \sqrt{3}\), — корень совпадает с числом 3.
При \(a = 0\) корень \(x = 0\) отличен от чисел 1 и 3, то есть корней становится три; это значение параметра не подходит.
Ответ: \((-\infty;\ 0) \cup \left\{1,\ \sqrt{3}\right\}\).
