Страница 28 номер 3.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(x^2 \cdot 2^{x} + 1 > x^2 + 2^{x}\); 2) \(25 \cdot 2^{x} - 10^{x} + 5^{x} > 25\).
1) \(x^{2} \cdot 2^{x} - x^{2} - 2^{x} + 1 > 0\); \(x^{2}\left(2^{x} - 1\right) - \left(2^{x} - 1\right) > 0\); \(\left(2^{x} - 1\right)\left(x^{2} - 1\right) > 0\).
Множитель \(2^{x} - 1\) обращается в нуль при \(x = 0\); функция \(y = 2^{x}\) возрастающая, поэтому при \(x > 0\) он положителен, а при \(x < 0\) — отрицателен. Множитель \(x^{2} - 1\) обращается в нуль при \(x = -1\) и при \(x = 1\), положителен вне отрезка \([-1;\ 1]\) и отрицателен внутри него.
На \((-\infty;\ -1)\) множители разных знаков, произведение отрицательно; на \((-1;\ 0)\) оба отрицательны, произведение положительно; на \((0;\ 1)\) множители разных знаков, произведение отрицательно; на \((1;\ +\infty)\) оба положительны, произведение положительно.
Значит, произведение положительно при \(-1 < x < 0\) и при \(x > 1\).
2) \(10^{x} = 2^{x} \cdot 5^{x}\), поэтому \(25 \cdot 2^{x} - 2^{x} \cdot 5^{x} + 5^{x} - 25 > 0\); \(2^{x}\left(25 - 5^{x}\right) - \left(25 - 5^{x}\right) > 0\); \(\left(25 - 5^{x}\right)\left(2^{x} - 1\right) > 0\).
Множитель \(25 - 5^{x}\) обращается в нуль при \(x = 2\); функция \(y = 5^{x}\) возрастающая, поэтому при \(x < 2\) он положителен, а при \(x > 2\) — отрицателен. Множитель \(2^{x} - 1\) обращается в нуль при \(x = 0\), положителен при \(x > 0\) и отрицателен при \(x < 0\).
На \((-\infty;\ 0)\) множители разных знаков, произведение отрицательно; на \((0;\ 2)\) оба положительны, произведение положительно; на \((2;\ +\infty)\) множители разных знаков, произведение отрицательно.
Значит, произведение положительно при \(0 < x < 2\).
Ответ: 1) \((-1;\ 0) \cup (1;\ +\infty)\); 2) \((0;\ 2)\).
Решите неравенство: 1) \(x^2 \cdot 2^{x} + 1 > x^2 + 2^{x}\); 2) \(25 \cdot 2^{x} - 10^{x} + 5^{x} > 25\).
1) Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем их: \(x^{2} \cdot 2^{x} - x^{2} - 2^{x} + 1 > 0\); \(x^{2}\left(2^{x} - 1\right) - \left(2^{x} - 1\right) > 0\); \(\left(2^{x} - 1\right)\left(x^{2} - 1\right) > 0\).
Множитель \(2^{x} - 1\) обращается в нуль при \(x = 0\); так как функция \(y = 2^{x}\) возрастающая, то при \(x > 0\) этот множитель положителен, а при \(x < 0\) — отрицателен. Множитель \(x^{2} - 1\) обращается в нуль при \(x = -1\) и при \(x = 1\), положителен вне отрезка \([-1;\ 1]\) и отрицателен внутри него.
Полученные нули разбивают числовую прямую на четыре промежутка. На промежутке \((-\infty;\ -1)\) первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательно. На промежутке \((-1;\ 0)\) оба множителя отрицательны, произведение положительно. На промежутке \((0;\ 1)\) первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно. На промежутке \((1;\ +\infty)\) оба множителя положительны, произведение положительно.
Значит, произведение положительно при \(-1 < x < 0\) и при \(x > 1\).
2) Так как \(10^{x} = 2^{x} \cdot 5^{x}\), перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем их: \(25 \cdot 2^{x} - 2^{x} \cdot 5^{x} + 5^{x} - 25 > 0\); \(2^{x}\left(25 - 5^{x}\right) - \left(25 - 5^{x}\right) > 0\); \(\left(25 - 5^{x}\right)\left(2^{x} - 1\right) > 0\).
Множитель \(25 - 5^{x}\) обращается в нуль при \(x = 2\); так как функция \(y = 5^{x}\) возрастающая, то при \(x < 2\) этот множитель положителен, а при \(x > 2\) — отрицателен. Множитель \(2^{x} - 1\) обращается в нуль при \(x = 0\), положителен при \(x > 0\) и отрицателен при \(x < 0\).
На промежутке \((-\infty;\ 0)\) первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно. На промежутке \((0;\ 2)\) оба множителя положительны, произведение положительно. На промежутке \((2;\ +\infty)\) первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательно.
Значит, произведение положительно при \(0 < x < 2\).
Ответ: 1) \((-1;\ 0) \cup (1;\ +\infty)\); 2) \((0;\ 2)\).
