Страница 28 номер 3.30, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство \((2^{x} - 2)\sqrt{x^2 - x - 6} \ge 0\).
ОДЗ: \(x^{2} - x - 6 \geqslant 0\); корни трёхчлена — числа \(-2\) и 3, поэтому ОДЗ — объединение промежутков \((-\infty;\ -2]\) и \([3;\ +\infty)\).
Множитель \(\sqrt{x^{2} - x - 6}\) неотрицателен и равен нулю только при \(x = -2\) и при \(x = 3\), поэтому произведение неотрицательно, когда этот множитель равен нулю или когда он положителен, а множитель \(2^{x} - 2\) неотрицателен, то есть \(2^{x} \geqslant 2^{1}\) и \(x \geqslant 1\) (основание 2 больше единицы).
При \(x \leqslant -2\) множитель \(2^{x} - 2\) отрицателен, поэтому подходит только значение \(x = -2\), при котором корень равен нулю.
При \(x \geqslant 3\) множитель \(2^{x} - 2\) положителен, а корень неотрицателен, поэтому произведение неотрицательно при каждом таком значении переменной.
Ответ: \([3;\ +\infty) \cup \{-2\}\).
Решите неравенство \((2^{x} - 2)\sqrt{x^2 - x - 6} \ge 0\).
Область допустимых значений неравенства задаётся условием \(x^{2} - x - 6 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(x^{2} - x - 6\) — числа \(-2\) и 3, поэтому область допустимых значений — объединение промежутков \((-\infty;\ -2]\) и \([3;\ +\infty)\).
На области допустимых значений множитель \(\sqrt{x^{2} - x - 6}\) неотрицателен, причём он равен нулю только при \(x = -2\) и при \(x = 3\). Поэтому произведение неотрицательно в двух случаях: когда этот множитель равен нулю или когда он положителен, а множитель \(2^{x} - 2\) неотрицателен.
Неравенство \(2^{x} - 2 \geqslant 0\) равносильно неравенству \(2^{x} \geqslant 2^{1}\), а оно при основании, большем единицы, равносильно неравенству \(x \geqslant 1\).
При \(x \leqslant -2\) выполняется неравенство \(x < 1\), поэтому множитель \(2^{x} - 2\) отрицателен. Значит, на этой части области допустимых значений произведение неотрицательно только там, где корень равен нулю, то есть при \(x = -2\).
При \(x \geqslant 3\) выполняется неравенство \(x > 1\), поэтому множитель \(2^{x} - 2\) положителен, а корень неотрицателен. Значит, произведение неотрицательно при каждом таком значении переменной.
Ответ: \([3;\ +\infty) \cup \{-2\}\).
