Страница 28 номер 3.14, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\frac{5^{x} - 125}{x^2 - 4x + 4} \le 0\); 2) \(\frac{2^{x} - 1}{x - 1} > 0\).
1) \(x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}\), и при \(x \ne 2\) этот квадрат положителен, поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя: \(5^{x} \leqslant 5^{3}\); основание 5 больше единицы, поэтому \(x \leqslant 3\).
Значение \(x = 2\) исключаем: при нём дробь не определена.
2) Дробь определена при \(x \ne 1\).
Числитель \(2^{x} - 1\) обращается в нуль при \(x = 0\); функция \(y = 2^{x}\) возрастающая, поэтому при \(x > 0\) числитель положителен, а при \(x < 0\) — отрицателен. Знаменатель \(x - 1\) положителен при \(x > 1\) и отрицателен при \(x < 1\).
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель — числа одного знака: \[\begin{cases} x > 0, \\ x > 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 0, \\ x < 1. \end{cases}\] Первая система даёт \(x > 1\), вторая — \(x < 0\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 2) \cup (2;\ 3]\); 2) \((-\infty;\ 0) \cup (1;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(\frac{5^{x} - 125}{x^2 - 4x + 4} \le 0\); 2) \(\frac{2^{x} - 1}{x - 1} > 0\).
1) В знаменателе стоит полный квадрат: \(x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}\). Он обращается в нуль при \(x = 2\) и положителен при всех остальных значениях переменной, поэтому при \(x \ne 2\) знак дроби совпадает со знаком её числителя.
Значит, при \(x \ne 2\) данное неравенство равносильно неравенству \(5^{x} - 125 \leqslant 0\), то есть \(5^{x} \leqslant 5^{3}\). Так как основание 5 больше единицы, то \(x \leqslant 3\).
Осталось исключить значение \(x = 2\), при котором дробь не определена.
2) Дробь определена при \(x \ne 1\).
Числитель \(2^{x} - 1\) обращается в нуль при \(x = 0\); так как функция \(y = 2^{x}\) возрастающая, то при \(x > 0\) числитель положителен, а при \(x < 0\) — отрицателен. Знаменатель \(x - 1\) положителен при \(x > 1\) и отрицателен при \(x < 1\).
Дробь положительна тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель — числа одного знака, то есть когда выполняется одна из систем: \[\begin{cases} x > 0, \\ x > 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 0, \\ x < 1. \end{cases}\] Первая система даёт \(x > 1\), вторая — \(x < 0\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 2) \cup (2;\ 3]\); 2) \((-\infty;\ 0) \cup (1;\ +\infty)\).
