Вопросы после параграфа §3 на странице 26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1. Опишите, какое неравенство называют показательным. 2. Сформулируйте теоремы, которые используют при решении показательных неравенств.
Показательным называют неравенство, в котором переменная содержится только в показателе степени, а основаниями степеней служат данные положительные числа, отличные от единицы.
Примеры: \(0{,}2^{x} < 25\), \(2^{x} + 5^{x} > 1\), \(7^{x^{2}} > 2^{x}\).
Неравенство \(x^{3} > 8\) показательным не является: в нём переменная — основание степени, а показатель постоянен.
Ответ: показательным называют неравенство, содержащее переменную только в показателе степени, например \(0{,}2^{x} < 25\), \(2^{x} + 5^{x} > 1\), \(7^{x^{2}} > 2^{x}\).
Теорема о сравнении двух степеней с одинаковым основанием: при \(a > 1\) неравенство \(a^{x_{1}} > a^{x_{2}}\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_{1} > x_{2}\), а при \(0 < a < 1\) — тогда и только тогда, когда \(x_{1} < x_{2}\).
Это следует из монотонности: при \(a > 1\) функция \(y = a^{x}\) возрастающая, поэтому большему показателю отвечает большее значение степени, а при \(0 < a < 1\) она убывающая, поэтому большему показателю отвечает меньшее значение степени.
Следствие: неравенство \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\) при \(a > 1\) равносильно неравенству \(f(x) > g(x)\), а при \(0 < a < 1\) — неравенству \(f(x) < g(x)\).
Например, \(3^{x - 1} > 3^{5}\) равносильно неравенству \(x - 1 > 5\), то есть \(x > 6\), а \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x - 1} > \left(\frac{1}{3}\right)^{5}\) — неравенству \(x - 1 < 5\), то есть \(x < 6\).
Ответ: при \(a > 1\) неравенство \(a^{x_{1}} > a^{x_{2}}\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_{1} > x_{2}\), а при \(0 < a < 1\) — тогда и только тогда, когда \(x_{1} < x_{2}\); следствие: неравенство \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\) при \(a > 1\) равносильно неравенству \(f(x) > g(x)\), а при \(0 < a < 1\) — неравенству \(f(x) < g(x)\).
1. Опишите, какое неравенство называют показательным. 2. Сформулируйте теоремы, которые используют при решении показательных неравенств.
Показательным называют неравенство, в котором переменная содержится только в показателе степени, а основаниями степеней служат данные положительные числа, отличные от единицы.
Примеры показательных неравенств: \(0{,}2^{x} < 25\), \(2^{x} + 5^{x} > 1\), \(7^{x^{2}} > 2^{x}\). В каждом из них переменная стоит лишь в показателе, а основания — числа \(0{,}2\), 2, 5, 7.
Неравенство \(x^{3} > 8\) показательным не является: в нём переменная — основание степени, а показатель постоянен.
Ответ: показательным называют неравенство, содержащее переменную только в показателе степени, например \(0{,}2^{x} < 25\), \(2^{x} + 5^{x} > 1\), \(7^{x^{2}} > 2^{x}\).
При решении показательных неравенств пользуются теоремой о сравнении двух степеней с одинаковым основанием.
При \(a > 1\) неравенство \(a^{x_{1}} > a^{x_{2}}\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_{1} > x_{2}\); при \(0 < a < 1\) неравенство \(a^{x_{1}} > a^{x_{2}}\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_{1} < x_{2}\).
Справедливость этой теоремы следует из монотонности показательной функции: при \(a > 1\) функция \(y = a^{x}\) возрастающая, поэтому большему показателю отвечает большее значение степени, а при \(0 < a < 1\) функция \(y = a^{x}\) убывающая, поэтому большему показателю отвечает меньшее значение степени.
Из теоремы вытекает следствие, которым и пользуются при решении: если \(a > 1\), то неравенство \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\) равносильно неравенству \(f(x) > g(x)\); если \(0 < a < 1\), то неравенство \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\) равносильно неравенству \(f(x) < g(x)\).
Например, неравенство \(3^{x - 1} > 3^{5}\) равносильно неравенству \(x - 1 > 5\), то есть \(x > 6\), а неравенство \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x - 1} > \left(\frac{1}{3}\right)^{5}\) равносильно неравенству \(x - 1 < 5\), то есть \(x < 6\).
Ответ: при \(a > 1\) неравенство \(a^{x_{1}} > a^{x_{2}}\) выполняется тогда и только тогда, когда \(x_{1} > x_{2}\), а при \(0 < a < 1\) — тогда и только тогда, когда \(x_{1} < x_{2}\); следствие: неравенство \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\) при \(a > 1\) равносильно неравенству \(f(x) > g(x)\), а при \(0 < a < 1\) — неравенству \(f(x) < g(x)\).
