Страница 23 номер 2.38, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((2 + \sqrt{3})^{x} + (2 - \sqrt{3})^{x} = 2(a - 1)x^2 + \frac{1}{2}a^2\) имеет единственное решение?
Так как \(\left(2 + \sqrt{3}\right)\left(2 - \sqrt{3}\right) = 4 - 3 = 1\), числа \(2 + \sqrt{3}\) и \(2 - \sqrt{3}\) взаимно обратны и \(\left(2 - \sqrt{3}\right)^{x} = \left(2 + \sqrt{3}\right)^{-x}\).
Обе части — чётные функции: при замене \(x\) на \(-x\) слагаемые левой части меняются местами, а правая не меняется, так как \((-x)^2 = x^2\). Поэтому вместе с корнем \(x_0\) есть корень \(-x_0\), и единственным корень может быть только при \(x_0 = 0\).
Подставим \(x = 0\): \(1 + 1 = \frac{1}{2}a^2\); \(a^2 = 4\), откуда \(a = -2\) или \(a = 2\).
При \(a = 2\) уравнение принимает вид \(\left(2 + \sqrt{3}\right)^{x} + \left(2 - \sqrt{3}\right)^{x} = 2x^2 + 2\), и число 1 — тоже корень: \(2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4\) и \(2 + 2 = 4\). Единственного корня нет.
При \(a = -2\) уравнение принимает вид \(\left(2 + \sqrt{3}\right)^{x} + \left(2 - \sqrt{3}\right)^{x} = -6x^2 + 2\). Пусть \(\left(2 + \sqrt{3}\right)^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда левая часть равна \(t + \frac{1}{t}\), а \(t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{(t - 1)^{2}}{t} \geqslant 0\), то есть она не меньше 2 и равна 2 только при \(t = 1\), то есть при \(x = 0\).
Правая часть \(2 - 6x^2\) не больше 2 и равна 2 тоже только при \(x = 0\), значит, корень единственный.
Ответ: \(a = -2\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((2 + \sqrt{3})^{x} + (2 - \sqrt{3})^{x} = 2(a - 1)x^2 + \frac{1}{2}a^2\) имеет единственное решение?
Так как \(\left(2 + \sqrt{3}\right)\left(2 - \sqrt{3}\right) = 4 - 3 = 1\), то числа \(2 + \sqrt{3}\) и \(2 - \sqrt{3}\) взаимно обратны, а значит, \(\left(2 - \sqrt{3}\right)^{x} = \left(2 + \sqrt{3}\right)^{-x}\).
Обе части уравнения — чётные функции переменной \(x\): при замене \(x\) на \(-x\) слагаемые левой части меняются местами, а правая часть не меняется, так как \((-x)^2 = x^2\). Поэтому вместе с каждым корнем \(x_0\) уравнение имеет и корень \(-x_0\), а единственным корень может быть только при \(x_0 = 0\).
Подставим \(x = 0\) в уравнение: \(1 + 1 = \frac{1}{2}a^2\); \(a^2 = 4\). Отсюда \(a = -2\) или \(a = 2\). Проверим каждое из этих значений.
Если \(a = 2\), то уравнение принимает вид \(\left(2 + \sqrt{3}\right)^{x} + \left(2 - \sqrt{3}\right)^{x} = 2x^2 + 2\). Число 1 — тоже его корень: при \(x = 1\) левая часть равна \(2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4\), правая часть равна \(2 + 2 = 4\). Значит, единственного корня уравнение не имеет.
Если \(a = -2\), то уравнение принимает вид \(\left(2 + \sqrt{3}\right)^{x} + \left(2 - \sqrt{3}\right)^{x} = -6x^2 + 2\).
Пусть \(\left(2 + \sqrt{3}\right)^{x} = t\), где \(t > 0\). Тогда левая часть равна \(t + \frac{1}{t}\). Так как \(t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{(t - 1)^{2}}{t} \geqslant 0\) при \(t > 0\), левая часть не меньше 2, причём равна 2 только при \(t = 1\), то есть при \(x = 0\). Правая часть \(2 - 6x^2\) не больше 2 и равна 2 тоже только при \(x = 0\).
Значит, равенство возможно только при \(x = 0\), и этот корень единственный.
Ответ: \(a = -2\).
