Страница 26 номер 3.5, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите сумму целых решений неравенства: 1) \(\frac{1}{3} < 3^{x + 3} < 9\); 2) \(\frac{1}{8} < 2^{2 - x} \le 16\).
1) Так как \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\) и \(9 = 3^{2}\), то \(3^{-1} < 3^{x + 3} < 3^{2}\). Основание больше единицы, поэтому \(-1 < x + 3 < 2\);
\(-4 < x < -1\). Целые решения \(-3\) и \(-2\), их сумма равна \(-3 - 2 = -5\).
2) Так как \(\frac{1}{8} = 2^{-3}\) и \(16 = 2^{4}\), то \(2^{-3} < 2^{2 - x} \leqslant 2^{4}\). Основание больше единицы, поэтому \(-3 < 2 - x \leqslant 4\);
\(-5 < -x \leqslant 2\);
\(-2 \leqslant x < 5\). Целые решения: \(-2\); \(-1\); 0; 1; 2; 3; 4, их сумма равна \(-2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7\).
Ответ: 1) \(-5\); 2) 7.
Найдите сумму целых решений неравенства: 1) \(\frac{1}{3} < 3^{x + 3} < 9\); 2) \(\frac{1}{8} < 2^{2 - x} \le 16\).
1) Запишем все три части двойного неравенства как степени с основанием 3: \(\frac{1}{3} = 3^{-1}\), \(9 = 3^{2}\). Получаем: \(3^{-1} < 3^{x + 3} < 3^{2}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее двойное неравенство равносильно такому: \(-1 < x + 3 < 2\). Отсюда \(-4 < x < -1\). Целые решения: \(-3\); \(-2\). Их сумма равна \(-3 - 2 = -5\).
2) Запишем все три части двойного неравенства как степени с основанием 2: \(\frac{1}{8} = 2^{-3}\), \(16 = 2^{4}\). Получаем: \(2^{-3} < 2^{2 - x} \leqslant 2^{4}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее двойное неравенство равносильно такому: \(-3 < 2 - x \leqslant 4\). Отсюда \(-5 < -x \leqslant 2\);
\(-2 \leqslant x < 5\). Целые решения: \(-2\); \(-1\); 0; 1; 2; 3; 4. Их сумма равна \(-2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7\).
Ответ: 1) \(-5\); 2) 7.
