Страница 27 номер 3.11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(3^{x + 2} - 4 \cdot 3^{x} = 3^{x}\left(3^{2} - 4\right) = 5 \cdot 3^{x}\), поэтому \(5 \cdot 3^{x} < 45\); \(3^{x} < 9\); \(3^{x} < 3^{2}\). Основание больше единицы, поэтому \(x < 2\).
2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} - \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right) = \frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2}\), поэтому \(\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} \leqslant 3\); \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} \leqslant 4\); \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\). Так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), знак меняется: \(x - 2 \geqslant -2\); \(x \geqslant 0\).
3) \(5^{x} + 5^{x - 1} - 5^{x - 2} = 5^{x - 2}\left(5^{2} + 5 - 1\right) = 29 \cdot 5^{x - 2}\), поэтому \(29 \cdot 5^{x - 2} > 145\); \(5^{x - 2} > 5^{1}\). Основание больше единицы, поэтому \(x - 2 > 1\); \(x > 3\).
4) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} + \left(\frac{2}{3}\right)^{x - 1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{x - 1}\left(\frac{2}{3} + 1\right) = \frac{5}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{x - 1}\), а правая часть равна \(1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}\), поэтому \(\frac{5}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{x - 1} < \frac{5}{3}\); \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x - 1} < \left(\frac{2}{3}\right)^{0}\). Так как \(0 < \frac{2}{3} < 1\), знак меняется: \(x - 1 > 0\); \(x > 1\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 2)\); 2) \([0;\ +\infty)\); 3) \((3;\ +\infty)\); 4) \((1;\ +\infty)\).
1) Вынесем в левой части за скобки степень с наименьшим показателем: \(3^{x + 2} - 4 \cdot 3^{x} = 3^{x}\left(3^{2} - 4\right) = 5 \cdot 3^{x}\). Получаем неравенство \(5 \cdot 3^{x} < 45\), то есть \(3^{x} < 9\); \(3^{x} < 3^{2}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(x < 2\).
2) Вынесем в левой части за скобки степень с наименьшим показателем: \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} - \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2}\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right) = \frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2}\). Получаем неравенство \(\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} \leqslant 3\), то есть \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} \leqslant 4\); \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2} \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\). Так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(x - 2 \geqslant -2\); \(x \geqslant 0\).
3) Вынесем в левой части за скобки степень с наименьшим показателем: \(5^{x} + 5^{x - 1} - 5^{x - 2} = 5^{x - 2}\left(5^{2} + 5 - 1\right) = 29 \cdot 5^{x - 2}\). Получаем неравенство \(29 \cdot 5^{x - 2} > 145\), то есть \(5^{x - 2} > 5^{1}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(x - 2 > 1\); \(x > 3\).
4) Вынесем в левой части за скобки степень с наименьшим показателем: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} + \left(\frac{2}{3}\right)^{x - 1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{x - 1}\left(\frac{2}{3} + 1\right) = \frac{5}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{x - 1}\). Правая часть неравенства равна \(1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}\), поэтому получаем неравенство \(\frac{5}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{x - 1} < \frac{5}{3}\), то есть \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x - 1} < \left(\frac{2}{3}\right)^{0}\). Так как \(0 < \frac{2}{3} < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(x - 1 > 0\); \(x > 1\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ 2)\); 2) \([0;\ +\infty)\); 3) \((3;\ +\infty)\); 4) \((1;\ +\infty)\).
