Страница 28 номер 3.29, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство \(10^{4 - x} > 7 + x\).
\(10^{4 - x} = 10^{4} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{x}\): основание \(\frac{1}{10}\) меньше единицы, поэтому функция \(y = 10^{4 - x}\) убывающая; функция \(y = 7 + x\) возрастающая.
При \(x = 3\) обе части равны: \(10^{4 - 3} = 10\) и \(7 + 3 = 10\).
При \(x < 3\) имеем \(10^{4 - x} > 10\) и \(7 + x < 10\), поэтому \(10^{4 - x} > 7 + x\); при \(x > 3\) имеем \(10^{4 - x} < 10\) и \(7 + x > 10\), поэтому \(10^{4 - x} < 7 + x\).
Значит, множество решений — промежуток \((-\infty;\ 3)\).
Ответ: \((-\infty;\ 3)\).
Решите неравенство \(10^{4 - x} > 7 + x\).
Так как \(10^{4 - x} = 10^{4} \cdot 10^{-x} = 10^{4} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{x}\), левая часть неравенства — показательная функция с основанием \(\frac{1}{10}\), умноженная на положительное число. Основание меньше единицы, поэтому функция \(y = 10^{4 - x}\) убывающая. Функция \(y = 7 + x\) возрастающая.
Заметим, что при \(x = 3\) обе части неравенства равны: \(10^{4 - 3} = 10\) и \(7 + 3 = 10\).
При \(x < 3\) выполняются неравенства \(10^{4 - x} > 10\) и \(7 + x < 10\), поэтому \(10^{4 - x} > 7 + x\). При \(x > 3\) выполняются неравенства \(10^{4 - x} < 10\) и \(7 + x > 10\), поэтому \(10^{4 - x} < 7 + x\).
Значит, множеством решений данного неравенства является промежуток \((-\infty;\ 3)\).
Ответ: \((-\infty;\ 3)\).
