Страница 23 номер 2.31, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(4^{x} - (19 - 3x) \cdot 2^{x} + 34 - 6x = 0\).
Пусть \(2^{x} = t\); тогда \[t^2 - (19 - 3x)t + 34 - 6x = 0.\]
\(D = (19 - 3x)^2 - 4(34 - 6x) = 9x^2 - 90x + 225 = (3x - 15)^2\).
\(t = \frac{(19 - 3x) + (3x - 15)}{2} = 2\) или \(t = \frac{(19 - 3x) - (3x - 15)}{2} = 17 - 3x\).
Значит, уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 2^{x} = 2, \\ 2^{x} = 17 - 3x. \end{array}\right.\]
Первое уравнение имеет единственный корень \(x = 1\).
Второе равносильно уравнению \(2^{x} + 3x = 17\); функция \(f(x) = 2^{x} + 3x\) возрастает как сумма возрастающих функций и каждое своё значение принимает один раз. Так как \(f(3) = 2^{3} + 9 = 17\), то \(x = 3\) — единственный корень второго уравнения.
Ответ: 1; 3.
Решите уравнение \(4^{x} - (19 - 3x) \cdot 2^{x} + 34 - 6x = 0\).
Пусть \(2^{x} = t\). Тогда \(4^{x} = t^2\), и данное уравнение принимает вид \[t^2 - (19 - 3x)t + 34 - 6x = 0.\]
Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно \(t\): \[D = (19 - 3x)^2 - 4(34 - 6x) = 9x^2 - 90x + 225 = (3x - 15)^2.\]
Значит, \(t = \frac{(19 - 3x) + (3x - 15)}{2} = 2\) или \(t = \frac{(19 - 3x) - (3x - 15)}{2} = 17 - 3x\).
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 2^{x} = 2, \\ 2^{x} = 17 - 3x. \end{array}\right.\]
Первое уравнение совокупности имеет единственный корень \(x = 1\).
Второе уравнение совокупности равносильно уравнению \(2^{x} + 3x = 17\). Функция \(f(x) = 2^{x} + 3x\) возрастает как сумма двух возрастающих функций, а следовательно, каждое своё значение она принимает только один раз. Так как \(f(3) = 2^{3} + 9 = 17\), то \(x = 3\) — единственный корень второго уравнения.
Ответ: 1; 3.
