Страница 23 номер 2.37, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((3 - 2\sqrt{2})^{x} + (3 + 2\sqrt{2})^{x} = (3a + 1)|x| + 2a^2\) имеет единственное решение?
Так как \(\left(3 - 2\sqrt{2}\right)\left(3 + 2\sqrt{2}\right) = 9 - 8 = 1\), числа \(3 - 2\sqrt{2}\) и \(3 + 2\sqrt{2}\) взаимно обратны и \(\left(3 - 2\sqrt{2}\right)^{x} = \left(3 + 2\sqrt{2}\right)^{-x}\).
Обе части — чётные функции: при замене \(x\) на \(-x\) слагаемые левой части меняются местами, а правая не меняется, так как \(|-x| = |x|\). Поэтому вместе с корнем \(x_0\) есть корень \(-x_0\), и единственным корень может быть только при \(x_0 = 0\).
Подставим \(x = 0\): \(1 + 1 = 2a^2\); \(a^2 = 1\), откуда \(a = -1\) или \(a = 1\).
При \(a = 1\) уравнение принимает вид \(\left(3 - 2\sqrt{2}\right)^{x} + \left(3 + 2\sqrt{2}\right)^{x} = 4|x| + 2\), и число 1 — тоже корень: \(3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} = 6\) и \(4 + 2 = 6\). Единственного корня нет.
При \(a = -1\) уравнение принимает вид \(\left(3 - 2\sqrt{2}\right)^{x} + \left(3 + 2\sqrt{2}\right)^{x} = 2 - 2|x|\). Пусть \(\left(3 + 2\sqrt{2}\right)^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда левая часть равна \(t + \frac{1}{t}\), а \(t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{(t - 1)^{2}}{t} \geqslant 0\), то есть она не меньше 2 и равна 2 только при \(t = 1\), то есть при \(x = 0\).
Правая часть \(2 - 2|x|\) не больше 2 и равна 2 тоже только при \(x = 0\), значит, корень единственный.
Ответ: \(a = -1\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((3 - 2\sqrt{2})^{x} + (3 + 2\sqrt{2})^{x} = (3a + 1)|x| + 2a^2\) имеет единственное решение?
Так как \(\left(3 - 2\sqrt{2}\right)\left(3 + 2\sqrt{2}\right) = 9 - 8 = 1\), то числа \(3 - 2\sqrt{2}\) и \(3 + 2\sqrt{2}\) взаимно обратны, а значит, \(\left(3 - 2\sqrt{2}\right)^{x} = \left(3 + 2\sqrt{2}\right)^{-x}\).
Обе части уравнения — чётные функции переменной \(x\): при замене \(x\) на \(-x\) слагаемые левой части меняются местами, а правая часть не меняется, так как \(|-x| = |x|\). Поэтому вместе с каждым корнем \(x_0\) уравнение имеет и корень \(-x_0\), а единственным корень может быть только при \(x_0 = 0\).
Подставим \(x = 0\) в уравнение: \(1 + 1 = 2a^2\); \(a^2 = 1\). Отсюда \(a = -1\) или \(a = 1\). Проверим каждое из этих значений.
Если \(a = 1\), то уравнение принимает вид \(\left(3 - 2\sqrt{2}\right)^{x} + \left(3 + 2\sqrt{2}\right)^{x} = 4|x| + 2\). Число 1 — тоже его корень: при \(x = 1\) левая часть равна \(3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} = 6\), правая часть равна \(4 + 2 = 6\). Значит, единственного корня уравнение не имеет.
Если \(a = -1\), то уравнение принимает вид \(\left(3 - 2\sqrt{2}\right)^{x} + \left(3 + 2\sqrt{2}\right)^{x} = 2 - 2|x|\).
Пусть \(\left(3 + 2\sqrt{2}\right)^{x} = t\), где \(t > 0\). Тогда левая часть равна \(t + \frac{1}{t}\). Так как \(t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{(t - 1)^{2}}{t} \geqslant 0\) при \(t > 0\), левая часть не меньше 2, причём равна 2 только при \(t = 1\), то есть при \(x = 0\). Правая часть \(2 - 2|x|\) не больше 2 и равна 2 тоже только при \(x = 0\).
Значит, равенство возможно только при \(x = 0\), и этот корень единственный.
Ответ: \(a = -1\).
