Страница 23 номер 2.33, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(4^{\operatorname{tg} x} + 4^{\operatorname{ctg} x} = 8\).
Уравнение имеет смысл при \(\sin x \ne 0\) и \(\cos x \ne 0\).
Если \(\operatorname{tg} x < 0\), то и \(\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} < 0\); основание 4 больше единицы, поэтому \(4^{\operatorname{tg} x} < 4^{0} = 1\) и \(4^{\operatorname{ctg} x} < 1\), сумма меньше 2 и равняться 8 не может — корней нет.
Пусть \(\operatorname{tg} x > 0\). Для положительных \(u\) и \(v\) из \(\left(\sqrt{u} - \sqrt{v}\right)^{2} \geqslant 0\) следует \(u + v \geqslant 2\sqrt{uv}\), причём равенство только при \(u = v\), поэтому \[4^{\operatorname{tg} x} + 4^{\operatorname{ctg} x} \geqslant 2\sqrt{4^{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}}.\]
При \(\operatorname{tg} x > 0\) имеем \(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x - 2 = \frac{\left(\operatorname{tg} x - 1\right)^{2}}{\operatorname{tg} x} \geqslant 0\), то есть \(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x \geqslant 2\), причём равенство только при \(\operatorname{tg} x = 1\).
Основание 4 больше единицы, поэтому \(4^{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x} \geqslant 4^{2}\) и \(4^{\operatorname{tg} x} + 4^{\operatorname{ctg} x} \geqslant 2\sqrt{4^{2}} = 8\).
Значит, левая часть равна 8 только при \(\operatorname{tg} x = 1\); тогда она и равна \(4^{1} + 4^{1} = 8\).
Отсюда \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\) — эти значения удовлетворяют и условию \(\operatorname{tg} x > 0\), и области определения.
Ответ: \(\frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Решите уравнение \(4^{\operatorname{tg} x} + 4^{\operatorname{ctg} x} = 8\).
Уравнение имеет смысл при \(\sin x \ne 0\) и \(\cos x \ne 0\).
Если \(\operatorname{tg} x < 0\), то и \(\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} < 0\). Так как основание 4 больше единицы, то \(4^{\operatorname{tg} x} < 4^{0} = 1\) и \(4^{\operatorname{ctg} x} < 1\), поэтому сумма этих чисел меньше 2 и равняться 8 не может. Значит, при \(\operatorname{tg} x < 0\) корней нет.
Пусть \(\operatorname{tg} x > 0\). Для любых положительных чисел \(u\) и \(v\) из неравенства \(\left(\sqrt{u} - \sqrt{v}\right)^{2} \geqslant 0\) следует, что \(u + v \geqslant 2\sqrt{uv}\), причём равенство достигается только при \(u = v\). Поэтому \[\begin{aligned} &4^{\operatorname{tg} x} + 4^{\operatorname{ctg} x} \geqslant 2\sqrt{4^{\operatorname{tg} x} \cdot 4^{\operatorname{ctg} x}} = {} \\ &= 2\sqrt{4^{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x}}. \end{aligned}\]
При \(\operatorname{tg} x > 0\) имеем \(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x - 2 = \frac{\left(\operatorname{tg} x - 1\right)^{2}}{\operatorname{tg} x} \geqslant 0\), то есть \(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x \geqslant 2\), причём равенство достигается только при \(\operatorname{tg} x = 1\).
Так как основание 4 больше единицы, то \(4^{\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x} \geqslant 4^{2}\), а значит, \[4^{\operatorname{tg} x} + 4^{\operatorname{ctg} x} \geqslant 2\sqrt{4^{2}} = 8.\]
Следовательно, левая часть уравнения равна 8 только при \(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = 2\), то есть при \(\operatorname{tg} x = 1\). При \(\operatorname{tg} x = 1\) левая часть действительно равна \(4^{1} + 4^{1} = 8\).
Отсюда \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); эти значения удовлетворяют и условию \(\operatorname{tg} x > 0\), и области определения уравнения.
Ответ: \(\frac{\pi}{4} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
