Страница 28 номер 3.27, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(|2^{x} - 1| + |2^{x} - 2| = 1\).
\(2^{x} = t\), \(t > 0\): \(|t - 1| + |t - 2| = 1\).
Если \(0 < t < 1\), то \(|t - 1| = 1 - t\), \(|t - 2| = 2 - t\), и \(3 - 2t = 1\); \(t = 1\) не удовлетворяет условию \(t < 1\), поэтому корней нет.
Если \(1 \leqslant t \leqslant 2\), то \(|t - 1| = t - 1\), \(|t - 2| = 2 - t\), и левая часть равна \(t - 1 + 2 - t = 1\): равенство верно при каждом значении \(t\) из промежутка \([1;\ 2]\).
Если \(t > 2\), то \(|t - 1| = t - 1\), \(|t - 2| = t - 2\), и \(2t = 4\); \(t = 2\) не удовлетворяет условию \(t > 2\), поэтому корней нет.
Значит, \(2^{0} \leqslant 2^{x} \leqslant 2^{1}\); основание 2 больше единицы, поэтому \(0 \leqslant x \leqslant 1\).
Ответ: \([0;\ 1]\).
Решите уравнение \(|2^{x} - 1| + |2^{x} - 2| = 1\).
Положим \(2^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и уравнение принимает вид \(|t - 1| + |t - 2| = 1\). Раскроем модули, рассмотрев три случая.
Если \(0 < t < 1\), то \(t - 1 < 0\) и \(t - 2 < 0\), поэтому \(|t - 1| = 1 - t\), \(|t - 2| = 2 - t\), и уравнение принимает вид \(1 - t + 2 - t = 1\); \(3 - 2t = 1\); \(t = 1\). Полученное значение не удовлетворяет условию \(t < 1\), поэтому в этом случае корней нет.
Если \(1 \leqslant t \leqslant 2\), то \(|t - 1| = t - 1\), \(|t - 2| = 2 - t\), и левая часть уравнения равна \(t - 1 + 2 - t = 1\). Значит, равенство выполняется при каждом значении \(t\) из промежутка \([1;\ 2]\).
Если \(t > 2\), то \(|t - 1| = t - 1\), \(|t - 2| = t - 2\), и уравнение принимает вид \(t - 1 + t - 2 = 1\); \(2t = 4\); \(t = 2\). Полученное значение не удовлетворяет условию \(t > 2\), поэтому в этом случае корней нет.
Значит, \(1 \leqslant 2^{x} \leqslant 2\), то есть \(2^{0} \leqslant 2^{x} \leqslant 2^{1}\). Так как основание 2 больше единицы, то \(0 \leqslant x \leqslant 1\).
Ответ: \([0;\ 1]\).
