Страница 23 номер 2.34, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(2^{\cos x} + 2^{\sin x} = 2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}\).
Для положительных \(u\) и \(v\) из \(\left(\sqrt{u} - \sqrt{v}\right)^{2} \geqslant 0\) следует \(u + v \geqslant 2\sqrt{uv}\), причём равенство только при \(u = v\), поэтому \[2^{\cos x} + 2^{\sin x} \geqslant 2\sqrt{2^{\cos x} \cdot 2^{\sin x}} = 2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}}.\]
\((\sin x + \cos x)^{2} = 1 + \sin 2x \leqslant 2\), поэтому \(\sin x + \cos x \geqslant -\sqrt{2}\).
Основание 2 больше единицы, поэтому \(2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}} \geqslant 2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}\).
Значит, равенство возможно, только когда оба неравенства обращаются в равенства: \[\begin{cases} 2^{\cos x} = 2^{\sin x}, \\ \sin x + \cos x = -\sqrt{2}. \end{cases}\]
Отсюда \(\cos x = \sin x\) и \(2\sin x = -\sqrt{2}\), то есть \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\); \(x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
При этих значениях левая часть равна \(2 \cdot 2^{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}\) — равенство выполняется.
Ответ: \(\frac{5\pi}{4} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Решите уравнение \(2^{\cos x} + 2^{\sin x} = 2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}\).
Для любых положительных чисел \(u\) и \(v\) из неравенства \(\left(\sqrt{u} - \sqrt{v}\right)^{2} \geqslant 0\) следует, что \(u + v \geqslant 2\sqrt{uv}\), причём равенство достигается только при \(u = v\). Поэтому \[2^{\cos x} + 2^{\sin x} \geqslant 2\sqrt{2^{\cos x} \cdot 2^{\sin x}} = 2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}}.\]
Оценим сумму \(\sin x + \cos x\). Имеем: \((\sin x + \cos x)^{2} = 1 + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x \leqslant 2\), поэтому \(\sin x + \cos x \geqslant -\sqrt{2}\).
Так как основание 2 больше единицы, то \(2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}} \geqslant 2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}\).
Значит, левая часть данного уравнения не меньше \(2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}\), и равенство возможно только тогда, когда оба использованных неравенства обращаются в равенства: \[\begin{cases} 2^{\cos x} = 2^{\sin x}, \\ \sin x + \cos x = -\sqrt{2}. \end{cases}\]
Из первого равенства системы получаем \(\cos x = \sin x\). Подставив это во второе равенство, имеем \(2\sin x = -\sqrt{2}\), то есть \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Отсюда \(x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
При этих значениях левая часть уравнения равна \(2 \cdot 2^{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}\), то есть равенство выполняется.
Ответ: \(\frac{5\pi}{4} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
