Страница 27 номер 3.12, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(3^{2x} = \left(3^{x}\right)^{2}\); \(3^{x} = t\), \(t > 0\): \(t^{2} - 4t - 45 > 0\); корни \(-5\) и 9, поэтому \(t < -5\) или \(t > 9\).
Неравенство \(3^{x} < -5\) решений не имеет, так как \(3^{x} > 0\); остаётся \(3^{x} > 3^{2}\), а основание больше единицы, поэтому \(x > 2\).
2) \(4^{x} = \left(2^{x}\right)^{2}\), \(2^{x + 3} = 8 \cdot 2^{x}\); \(2^{x} = t\), \(t > 0\): \(t^{2} + 8t - 20 < 0\); корни \(-10\) и 2, поэтому \(-10 < t < 2\).
Неравенство \(2^{x} > -10\) выполняется при всех \(x\), остаётся \(2^{x} < 2\); основание 2 больше единицы, поэтому \(x < 1\).
3) \(49^{x} = \left(7^{x}\right)^{2}\); \(7^{x} = t\): \(t^{2} - 8t + 7 \leqslant 0\); корни 1 и 7, поэтому \(1 \leqslant t \leqslant 7\), то есть \(7^{0} \leqslant 7^{x} \leqslant 7^{1}\); основание 7 больше единицы, поэтому \(0 \leqslant x \leqslant 1\).
4) \(0{,}25^{x} = \left(0{,}5^{x}\right)^{2}\); \(0{,}5^{x} = t\), \(t > 0\): \(t^{2} - 12t + 32 \geqslant 0\); корни 4 и 8, поэтому \(t \leqslant 4\) или \(t \geqslant 8\).
Если \(t \leqslant 4\), то \(0{,}5^{x} \leqslant 0{,}5^{-2}\); так как \(0 < 0{,}5 < 1\), то \(x \geqslant -2\).
Если \(t \geqslant 8\), то \(0{,}5^{x} \geqslant 0{,}5^{-3}\); так как \(0 < 0{,}5 < 1\), то \(x \leqslant -3\).
5) \(6^{2x - 1} = \frac{\left(6^{x}\right)^{2}}{6}\); \(6^{x} = t\), \(t > 0\): \(\frac{t^{2}}{6} - \frac{t}{3} - 4 \leqslant 0\); умножим на положительное число 6: \(t^{2} - 2t - 24 \leqslant 0\); корни \(-4\) и 6, поэтому \(-4 \leqslant t \leqslant 6\).
Неравенство \(6^{x} \geqslant -4\) выполняется при всех \(x\), остаётся \(6^{x} \leqslant 6\); основание 6 больше единицы, поэтому \(x \leqslant 1\).
6) \(25^{x} = \left(5^{x}\right)^{2}\); \(5^{x} = t\), \(t > 0\): \(t^{2} + t - 30 \geqslant 0\); корни \(-6\) и 5, поэтому \(t \leqslant -6\) или \(t \geqslant 5\).
Неравенство \(5^{x} \leqslant -6\) решений не имеет, так как \(5^{x} > 0\); остаётся \(5^{x} \geqslant 5^{1}\), а основание больше единицы, поэтому \(x \geqslant 1\).
Ответ: 1) \((2;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 1)\); 3) \([0;\ 1]\); 4) \((-\infty;\ -3] \cup [-2;\ +\infty)\); 5) \((-\infty;\ 1]\); 6) \([1;\ +\infty)\).
1) Так как \(3^{2x} = \left(3^{x}\right)^{2}\), положим \(3^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и неравенство принимает вид \(t^{2} - 4t - 45 > 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} - 4t - 45\) — числа \(-5\) и 9, поэтому \(t < -5\) или \(t > 9\).
Так как \(3^{x} > 0\) при всех \(x\), то неравенство \(3^{x} < -5\) решений не имеет. Остаётся неравенство \(3^{x} > 9\), то есть \(3^{x} > 3^{2}\). Так как основание степеней больше единицы, то оно равносильно неравенству \(x > 2\).
2) Так как \(4^{x} = \left(2^{x}\right)^{2}\) и \(2^{x + 3} = 8 \cdot 2^{x}\), положим \(2^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и \(t^{2} + 8t - 20 < 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} + 8t - 20\) — числа \(-10\) и 2, поэтому \(-10 < t < 2\).
Так как \(2^{x} > 0\), то неравенство \(2^{x} > -10\) выполняется при всех \(x\), поэтому достаточно решить неравенство \(2^{x} < 2\). Так как основание 2 больше единицы, то \(x < 1\).
3) Так как \(49^{x} = \left(7^{x}\right)^{2}\), положим \(7^{x} = t\). Тогда \(t^{2} - 8t + 7 \leqslant 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} - 8t + 7\) — числа 1 и 7, поэтому \(1 \leqslant t \leqslant 7\).
Отсюда \(7^{0} \leqslant 7^{x} \leqslant 7^{1}\). Так как основание 7 больше единицы, то \(0 \leqslant x \leqslant 1\).
4) Так как \(0{,}25^{x} = \left(0{,}5^{2}\right)^{x} = \left(0{,}5^{x}\right)^{2}\), положим \(0{,}5^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и \(t^{2} - 12t + 32 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} - 12t + 32\) — числа 4 и 8, поэтому \(t \leqslant 4\) или \(t \geqslant 8\).
Если \(t \leqslant 4\), то \(0{,}5^{x} \leqslant 0{,}5^{-2}\); так как \(0 < 0{,}5 < 1\), то \(x \geqslant -2\).
Если \(t \geqslant 8\), то \(0{,}5^{x} \geqslant 0{,}5^{-3}\); так как \(0 < 0{,}5 < 1\), то \(x \leqslant -3\).
Множество решений — объединение полученных промежутков.
5) Так как \(6^{2x - 1} = \frac{6^{2x}}{6} = \frac{\left(6^{x}\right)^{2}}{6}\), положим \(6^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и \(\frac{t^{2}}{6} - \frac{t}{3} - 4 \leqslant 0\). Умножив обе части на положительное число 6, получим равносильное неравенство \(t^{2} - 2t - 24 \leqslant 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} - 2t - 24\) — числа \(-4\) и 6, поэтому \(-4 \leqslant t \leqslant 6\).
Так как \(6^{x} > 0\), то неравенство \(6^{x} \geqslant -4\) выполняется при всех \(x\), поэтому достаточно решить неравенство \(6^{x} \leqslant 6\). Так как основание 6 больше единицы, то \(x \leqslant 1\).
6) Так как \(25^{x} = \left(5^{x}\right)^{2}\), положим \(5^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и \(t^{2} + t - 30 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} + t - 30\) — числа \(-6\) и 5, поэтому \(t \leqslant -6\) или \(t \geqslant 5\).
Неравенство \(5^{x} \leqslant -6\) решений не имеет, так как \(5^{x} > 0\). Из неравенства \(5^{x} \geqslant 5^{1}\) при основании, большем единицы, получаем \(x \geqslant 1\).
Ответ: 1) \((2;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 1)\); 3) \([0;\ 1]\); 4) \((-\infty;\ -3] \cup [-2;\ +\infty)\); 5) \((-\infty;\ 1]\); 6) \([1;\ +\infty)\).
