Страница 26 номер 3.2, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. §3. Показательные неравенства. Страница 26. Номер 3.2

Решение:

1) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} > \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\). Так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), знак меняется: \(x < 2\).

2) \(5^{x} < 5^{-1}\). Основание больше единицы, поэтому \(x < -1\).

3) Основание степеней равно 11, то есть больше единицы, поэтому \(x - 5 < 3x + 1\); \(-2x < 6\); \(x > -3\).

4) Так как \(0 < 0{,}4 < 1\), знак меняется: \(6x + 1 \leqslant 2x + 5\); \(4x \leqslant 4\); \(x \leqslant 1\).

5) \(2^{x^{2} - 1} < 2^{3}\). Основание больше единицы, поэтому \(x^{2} - 1 < 3\); \(x^{2} < 4\); \(-2 < x < 2\).

6) \(0{,}3^{4x - 8} > 0{,}3^{0}\). Так как \(0 < 0{,}3 < 1\), знак меняется: \(4x - 8 < 0\); \(x < 2\).

7) Так как \(1000 = 0{,}1^{-3}\), то \(0{,}1^{3x - 1} < 0{,}1^{-3}\). Так как \(0 < 0{,}1 < 1\), знак меняется: \(3x - 1 > -3\); \(3x > -2\); \(x > -\frac{2}{3}\).

8) Так как \(\frac{1}{36} = 6^{-2}\) и \(216 = 6^{3}\), то \(\left(6^{-2}\right)^{2 - x} < \left(6^{3}\right)^{x + 1}\); \(6^{2x - 4} < 6^{3x + 3}\). Основание больше единицы, поэтому \(2x - 4 < 3x + 3\); \(-x < 7\); \(x > -7\).

Ответ: 1) \((-\infty;\ 2)\); 2) \((-\infty;\ -1)\); 3) \((-3;\ +\infty)\); 4) \((-\infty;\ 1]\); 5) \((-2;\ 2)\); 6) \((-\infty;\ 2)\); 7) \(\left(-\frac{2}{3};\ +\infty\right)\); 8) \((-7;\ +\infty)\).

Решение:

1) Запишем правую часть как степень с основанием \(\frac{1}{2}\): \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} > \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\). Так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(x < 2\).

2) Имеем: \(5^{x} < 5^{-1}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(x < -1\).

3) Основание степеней равно 11, то есть больше единицы, поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(x - 5 < 3x + 1\). Отсюда \(-2x < 6\); \(x > -3\).

4) Так как \(0 < 0{,}4 < 1\), то данное неравенство равносильно такому: \(6x + 1 \leqslant 2x + 5\). Отсюда \(4x \leqslant 4\); \(x \leqslant 1\).

5) Имеем: \(2^{x^{2} - 1} < 2^{3}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(x^{2} - 1 < 3\). Отсюда \(x^{2} < 4\); \(-2 < x < 2\).

6) Единицу, стоящую справа, запишем как степень с основанием \(0{,}3\): \(0{,}3^{4x - 8} > 0{,}3^{0}\). Так как \(0 < 0{,}3 < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(4x - 8 < 0\). Отсюда \(x < 2\).

7) Так как \(1000 = \frac{1}{0{,}001} = 0{,}1^{-3}\), то данное неравенство можно переписать так: \(0{,}1^{3x - 1} < 0{,}1^{-3}\). Так как \(0 < 0{,}1 < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(3x - 1 > -3\). Отсюда \(3x > -2\); \(x > -\frac{2}{3}\).

8) Представим обе части в виде степени с основанием 6. Имеем: \(\frac{1}{36} = 6^{-2}\), \(216 = 6^{3}\), поэтому \(\left(6^{-2}\right)^{2 - x} < \left(6^{3}\right)^{x + 1}\); \(6^{2x - 4} < 6^{3x + 3}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(2x - 4 < 3x + 3\). Отсюда \(-x < 7\); \(x > -7\).