Страница 28 номер 3.25, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство \(x^2 \cdot 3^{x} + 9 < x^2 + 3^{x + 2}\).
\(3^{x + 2} = 9 \cdot 3^{x}\), поэтому \(x^{2} \cdot 3^{x} - x^{2} - 9 \cdot 3^{x} + 9 < 0\); \(x^{2}\left(3^{x} - 1\right) - 9\left(3^{x} - 1\right) < 0\); \(\left(3^{x} - 1\right)\left(x^{2} - 9\right) < 0\).
Множитель \(3^{x} - 1\) обращается в нуль при \(x = 0\); функция \(y = 3^{x}\) возрастающая, поэтому при \(x > 0\) он положителен, а при \(x < 0\) — отрицателен. Множитель \(x^{2} - 9\) обращается в нуль при \(x = -3\) и при \(x = 3\), положителен вне отрезка \([-3;\ 3]\) и отрицателен внутри него.
На \((-\infty;\ -3)\) множители разных знаков, произведение отрицательно; на \((-3;\ 0)\) оба отрицательны, произведение положительно; на \((0;\ 3)\) множители разных знаков, произведение отрицательно; на \((3;\ +\infty)\) оба положительны, произведение положительно.
Значит, произведение отрицательно при \(x < -3\) и при \(0 < x < 3\).
Ответ: \((-\infty;\ -3) \cup (0;\ 3)\).
Решите неравенство \(x^2 \cdot 3^{x} + 9 < x^2 + 3^{x + 2}\).
Так как \(3^{x + 2} = 9 \cdot 3^{x}\), перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем их: \(x^{2} \cdot 3^{x} - x^{2} - 9 \cdot 3^{x} + 9 < 0\); \(x^{2}\left(3^{x} - 1\right) - 9\left(3^{x} - 1\right) < 0\); \(\left(3^{x} - 1\right)\left(x^{2} - 9\right) < 0\).
Множитель \(3^{x} - 1\) обращается в нуль при \(x = 0\); так как функция \(y = 3^{x}\) возрастающая, то при \(x > 0\) этот множитель положителен, а при \(x < 0\) — отрицателен. Множитель \(x^{2} - 9\) обращается в нуль при \(x = -3\) и при \(x = 3\), положителен вне отрезка \([-3;\ 3]\) и отрицателен внутри него.
Полученные нули разбивают числовую прямую на четыре промежутка. На промежутке \((-\infty;\ -3)\) первый множитель отрицателен, второй положителен, произведение отрицательно. На промежутке \((-3;\ 0)\) оба множителя отрицательны, произведение положительно. На промежутке \((0;\ 3)\) первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно. На промежутке \((3;\ +\infty)\) оба множителя положительны, произведение положительно.
Значит, произведение отрицательно при \(x < -3\) и при \(0 < x < 3\).
Ответ: \((-\infty;\ -3) \cup (0;\ 3)\).
