Страница 23 номер 2.40, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнения \(3^{x} + 3^{x + 3} = 3^{x + 1} + 25\) и \(|a - 4| \cdot 2^{x} + a \cdot 4^{x} = 4\) равносильны?
Решим первое уравнение: \(3^{x} + 27 \cdot 3^{x} = 3 \cdot 3^{x} + 25\); \(25 \cdot 3^{x} = 25\); \(3^{x} = 3^{0}\); \(x = 0\) — единственный корень.
Уравнения равносильны тогда и только тогда, когда 0 — единственный корень и второго уравнения.
Подставим \(x = 0\): \(|a - 4| + a = 4\), то есть \(|a - 4| = 4 - a\), что выполняется при \(4 - a \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 4\).
При \(a \leqslant 4\) имеем \(|a - 4| = 4 - a\), и второе уравнение принимает вид \(a \cdot \left(2^{x}\right)^{2} + (4 - a) \cdot 2^{x} - 4 = 0\).
Пусть \(2^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(at^2 + (4 - a)t - 4 = 0\), то есть \[(t - 1)(at + 4) = 0.\]
При \(a = 0\): \(4t - 4 = 0\); \(t = 1\); \(x = 0\) — единственный корень, уравнения равносильны.
При \(a \ne 0\): \(t = 1\) (ему отвечает корень \(x = 0\)) или \(t = -\frac{4}{a}\). Второе значение даёт ещё один корень тогда и только тогда, когда \(-\frac{4}{a} > 0\) и \(-\frac{4}{a} \ne 1\), то есть при \(a < 0\) и \(a \ne -4\) — тогда уравнения не равносильны. При \(a = -4\) получаем \(t = 1\), нового корня нет; при \(0 < a \leqslant 4\) число \(-\frac{4}{a}\) отрицательно и корней не даёт.
Значит, условию задачи удовлетворяют \(0 \leqslant a \leqslant 4\) и \(a = -4\).
Ответ: \([0;\ 4] \cup \{-4\}\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнения \(3^{x} + 3^{x + 3} = 3^{x + 1} + 25\) и \(|a - 4| \cdot 2^{x} + a \cdot 4^{x} = 4\) равносильны?
Решим первое уравнение: \(3^{x} + 27 \cdot 3^{x} = 3 \cdot 3^{x} + 25\); \(28 \cdot 3^{x} - 3 \cdot 3^{x} = 25\); \(25 \cdot 3^{x} = 25\); \(3^{x} = 3^{0}\). Отсюда \(x = 0\) — единственный корень первого уравнения.
Данные уравнения равносильны тогда и только тогда, когда число 0 — единственный корень и второго уравнения.
Подставим \(x = 0\) во второе уравнение: \(|a - 4| + a = 4\), то есть \(|a - 4| = 4 - a\). Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда \(4 - a \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 4\).
Пусть \(a \leqslant 4\). Тогда \(|a - 4| = 4 - a\), и второе уравнение принимает вид \(a \cdot \left(2^{x}\right)^{2} + (4 - a) \cdot 2^{x} - 4 = 0\).
Пусть \(2^{x} = t\), где \(t > 0\). Тогда \(at^2 + (4 - a)t - 4 = 0\), то есть \[(t - 1)(at + 4) = 0.\]
Если \(a = 0\), то это уравнение принимает вид \(4t - 4 = 0\), откуда \(t = 1\) и \(x = 0\) — единственный корень; уравнения равносильны.
Если \(a \ne 0\), то \(t = 1\) или \(t = -\frac{4}{a}\). Значению \(t = 1\) отвечает корень \(x = 0\). Значение \(t = -\frac{4}{a}\) даёт ещё один корень тогда и только тогда, когда \(-\frac{4}{a} > 0\) и \(-\frac{4}{a} \ne 1\), то есть при \(a < 0\) и \(a \ne -4\); при таких значениях параметра уравнения не равносильны. При \(a = -4\) получаем \(t = 1\), то есть нового корня нет. При \(0 < a \leqslant 4\) число \(-\frac{4}{a}\) отрицательно и корней не даёт.
Значит, условию задачи удовлетворяют значения \(0 \leqslant a \leqslant 4\) и \(a = -4\).
Ответ: \([0;\ 4] \cup \{-4\}\).
