Страница 29 номер 3.33, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Для каждого значения параметра \(a\) решите неравенство \((x - a)\sqrt{6 \cdot 5^{x} - 5 \cdot 6^{x}} \le 0\).
ОДЗ: \(6 \cdot 5^{x} - 5 \cdot 6^{x} \geqslant 0\), то есть \(6 \cdot 5^{x} \geqslant 5 \cdot 6^{x}\); разделим обе части на положительное \(5 \cdot 5^{x}\): \(\left(\frac{6}{5}\right)^{x} \leqslant \left(\frac{6}{5}\right)^{1}\); основание \(\frac{6}{5}\) больше единицы, поэтому \(x \leqslant 1\).
Подкоренное выражение обращается в нуль только при \(x = 1\), а при \(x < 1\) оно положительно.
Если \(x = 1\), то второй множитель равен нулю: произведение равно нулю и неравенство выполняется при любом значении параметра, поэтому значение \(x = 1\) входит в множество решений всегда.
Если \(x < 1\), то второй множитель положителен, поэтому неравенство равносильно условию \(x \leqslant a\).
При \(a < 1\) условия \(x < 1\) и \(x \leqslant a\) вместе дают промежуток \((-\infty;\ a]\), и вместе с точкой \(x = 1\) множество решений — \((-\infty;\ a] \cup \{1\}\).
При \(a \geqslant 1\) те же условия дают промежуток \((-\infty;\ 1)\), и вместе с точкой \(x = 1\) множество решений — промежуток \((-\infty;\ 1]\).
Ответ: если \(a < 1\), то множество решений — \((-\infty;\ a] \cup \{1\}\); если \(a \geqslant 1\), то множество решений — \((-\infty;\ 1]\).
Для каждого значения параметра \(a\) решите неравенство \((x - a)\sqrt{6 \cdot 5^{x} - 5 \cdot 6^{x}} \le 0\).
Область допустимых значений неравенства задаётся условием \(6 \cdot 5^{x} - 5 \cdot 6^{x} \geqslant 0\), то есть \(6 \cdot 5^{x} \geqslant 5 \cdot 6^{x}\). Разделив обе части на положительное число \(5 \cdot 5^{x}\), получим равносильное неравенство \(\frac{6}{5} \geqslant \left(\frac{6}{5}\right)^{x}\), то есть \(\left(\frac{6}{5}\right)^{x} \leqslant \left(\frac{6}{5}\right)^{1}\). Так как основание \(\frac{6}{5}\) больше единицы, то \(x \leqslant 1\).
Подкоренное выражение обращается в нуль только при \(x = 1\), а при \(x < 1\) оно положительно.
Если \(x = 1\), то второй множитель равен нулю, поэтому произведение равно нулю и неравенство выполняется при любом значении параметра. Значит, значение \(x = 1\) входит в множество решений всегда.
Если \(x < 1\), то второй множитель положителен, поэтому данное неравенство равносильно условию \(x - a \leqslant 0\), то есть \(x \leqslant a\).
При \(a < 1\) условия \(x < 1\) и \(x \leqslant a\) вместе дают промежуток \((-\infty;\ a]\), и вместе с точкой \(x = 1\) множество решений — \((-\infty;\ a] \cup \{1\}\).
При \(a \geqslant 1\) те же условия дают промежуток \((-\infty;\ 1)\), и вместе с точкой \(x = 1\) множество решений — промежуток \((-\infty;\ 1]\).
Ответ: если \(a < 1\), то множество решений — \((-\infty;\ a] \cup \{1\}\); если \(a \geqslant 1\), то множество решений — \((-\infty;\ 1]\).
