Страница 27 номер 3.7, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^{x} - 16}\); 2) \(f(x) = \sqrt{1 - 6^{x - 4}}\).
1) Подкоренное выражение неотрицательно: \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} - 16 \geqslant 0\), то есть \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \geqslant \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}\). Так как \(0 < \frac{1}{4} < 1\), знак меняется: \(x \leqslant -2\). Область определения функции \(f\) — промежуток \((-\infty;\ -2]\).
2) Подкоренное выражение неотрицательно: \(1 - 6^{x - 4} \geqslant 0\), то есть \(6^{x - 4} \leqslant 6^{0}\). Основание больше единицы, поэтому \(x - 4 \leqslant 0\); \(x \leqslant 4\). Область определения функции \(f\) — промежуток \((-\infty;\ 4]\).
Ответ: 1) \(D(f) = (-\infty;\ -2]\); 2) \(D(f) = (-\infty;\ 4]\).
Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^{x} - 16}\); 2) \(f(x) = \sqrt{1 - 6^{x - 4}}\).
1) Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным: \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} - 16 \geqslant 0\), то есть \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \geqslant 16\). Запишем число 16 как степень с основанием \(\frac{1}{4}\): \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \geqslant \left(\frac{1}{4}\right)^{-2}\). Так как \(0 < \frac{1}{4} < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(x \leqslant -2\). Значит, областью определения функции \(f\) является промежуток \((-\infty;\ -2]\).
2) Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным: \(1 - 6^{x - 4} \geqslant 0\), то есть \(6^{x - 4} \leqslant 6^{0}\). Основание степеней больше единицы, поэтому последнее неравенство равносильно такому: \(x - 4 \leqslant 0\); \(x \leqslant 4\). Значит, областью определения функции \(f\) является промежуток \((-\infty;\ 4]\).
Ответ: 1) \(D(f) = (-\infty;\ -2]\); 2) \(D(f) = (-\infty;\ 4]\).
