Страница 28 номер 3.19, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите множество решений неравенства: 1) \(3^{x + 1} - 2 \cdot 3^{1 - x} > 7\); 2) \(4^{1 - x} - 0{,}5^{1 - 2x} \ge 1\).
1) \(3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}\), \(3^{1 - x} = \frac{3}{3^{x}}\); \(3^{x} = t\), \(t > 0\): \(3t - \frac{6}{t} > 7\); умножим на положительное \(t\): \(3t^{2} - 7t - 6 > 0\); дискриминант \(49 + 72 = 121\), корни \(t = \frac{7 \pm 11}{6}\), то есть \(-\frac{2}{3}\) и 3, поэтому \(t < -\frac{2}{3}\) или \(t > 3\).
Неравенство \(3^{x} < -\frac{2}{3}\) решений не имеет; остаётся \(3^{x} > 3^{1}\), а основание больше единицы, поэтому \(x > 1\).
2) \(4^{1 - x} = 2^{2 - 2x} = \frac{4}{2^{2x}}\), \(0{,}5^{1 - 2x} = 2^{2x - 1} = \frac{2^{2x}}{2}\); \(2^{2x} = t\), \(t > 0\): \(\frac{4}{t} - \frac{t}{2} \geqslant 1\); умножим на положительное \(2t\): \(8 - t^{2} \geqslant 2t\), то есть \(t^{2} + 2t - 8 \leqslant 0\); корни \(-4\) и 2, поэтому \(-4 \leqslant t \leqslant 2\).
Неравенство \(2^{2x} \geqslant -4\) выполняется при всех \(x\), остаётся \(2^{2x} \leqslant 2^{1}\); основание 2 больше единицы, поэтому \(2x \leqslant 1\); \(x \leqslant \frac{1}{2}\).
Ответ: 1) \((1;\ +\infty)\); 2) \(\left(-\infty;\ \frac{1}{2}\right]\).
Найдите множество решений неравенства: 1) \(3^{x + 1} - 2 \cdot 3^{1 - x} > 7\); 2) \(4^{1 - x} - 0{,}5^{1 - 2x} \ge 1\).
1) Так как \(3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}\) и \(3^{1 - x} = \frac{3}{3^{x}}\), положим \(3^{x} = t\). Тогда \(t > 0\) и неравенство принимает вид \(3t - \frac{6}{t} > 7\). Умножив обе части на положительное число \(t\), получим равносильное неравенство \(3t^{2} - 7t - 6 > 0\). Дискриминант трёхчлена \(3t^{2} - 7t - 6\) равен \(49 + 72 = 121\), его корни \(t = \frac{7 \pm 11}{6}\), то есть \(-\frac{2}{3}\) и 3. Значит, \(t < -\frac{2}{3}\) или \(t > 3\).
Так как \(3^{x} > 0\), то неравенство \(3^{x} < -\frac{2}{3}\) решений не имеет. Остаётся неравенство \(3^{x} > 3^{1}\), которое при основании, большем единицы, равносильно неравенству \(x > 1\).
2) Приведём все степени к основанию 2: \(4^{1 - x} = 2^{2 - 2x} = \frac{4}{2^{2x}}\), \(0{,}5^{1 - 2x} = \left(2^{-1}\right)^{1 - 2x} = 2^{2x - 1} = \frac{2^{2x}}{2}\).
Положим \(2^{2x} = t\). Тогда \(t > 0\) и неравенство принимает вид \(\frac{4}{t} - \frac{t}{2} \geqslant 1\). Умножив обе части на положительное число \(2t\), получим равносильное неравенство \(8 - t^{2} \geqslant 2t\), то есть \(t^{2} + 2t - 8 \leqslant 0\). Корни трёхчлена \(t^{2} + 2t - 8\) — числа \(-4\) и 2, поэтому \(-4 \leqslant t \leqslant 2\).
Так как \(2^{2x} > 0\), то неравенство \(2^{2x} \geqslant -4\) выполняется при всех \(x\), поэтому достаточно решить неравенство \(2^{2x} \leqslant 2^{1}\). Так как основание 2 больше единицы, то \(2x \leqslant 1\); \(x \leqslant \frac{1}{2}\).
Ответ: 1) \((1;\ +\infty)\); 2) \(\left(-\infty;\ \frac{1}{2}\right]\).
