Страница 26 номер 3.4, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сколько целых решений имеет неравенство: 1) \(0{,}2 \le 5^{x + 4} \le 125\); 2) \(\frac{1}{36} \le 6^{3 - x} < 6\); 3) \(2 < 0{,}5^{x - 1} \le 32\)?
1) Так как \(0{,}2 = 5^{-1}\) и \(125 = 5^{3}\), то \(5^{-1} \leqslant 5^{x + 4} \leqslant 5^{3}\). Основание больше единицы, поэтому \(-1 \leqslant x + 4 \leqslant 3\); \(-5 \leqslant x \leqslant -1\). Целые решения: \(-5\); \(-4\); \(-3\); \(-2\); \(-1\), всего 5 чисел.
2) \(6^{-2} \leqslant 6^{3 - x} < 6^{1}\). Основание больше единицы, поэтому \(-2 \leqslant 3 - x < 1\); \(-5 \leqslant -x < -2\); \(2 < x \leqslant 5\). Целые решения: 3; 4; 5, всего 3 числа.
3) Так как \(2 = 0{,}5^{-1}\) и \(32 = 0{,}5^{-5}\), то \(0{,}5^{-1} < 0{,}5^{x - 1} \leqslant 0{,}5^{-5}\). Так как \(0 < 0{,}5 < 1\), знаки меняются на противоположные: \(-1 > x - 1 \geqslant -5\), то есть \(-5 \leqslant x - 1 < -1\); \(-4 \leqslant x < 0\). Целые решения: \(-4\); \(-3\); \(-2\); \(-1\), всего 4 числа.
Ответ: 1) 5 целых решений; 2) 3 целых решения; 3) 4 целых решения.
Сколько целых решений имеет неравенство: 1) \(0{,}2 \le 5^{x + 4} \le 125\); 2) \(\frac{1}{36} \le 6^{3 - x} < 6\); 3) \(2 < 0{,}5^{x - 1} \le 32\)?
1) Запишем все три части двойного неравенства как степени с основанием 5: \(0{,}2 = 5^{-1}\), \(125 = 5^{3}\). Получаем: \(5^{-1} \leqslant 5^{x + 4} \leqslant 5^{3}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее двойное неравенство равносильно такому: \(-1 \leqslant x + 4 \leqslant 3\). Отсюда \(-5 \leqslant x \leqslant -1\). Целые решения: \(-5\); \(-4\); \(-3\); \(-2\); \(-1\), всего 5 чисел.
2) Имеем: \(6^{-2} \leqslant 6^{3 - x} < 6^{1}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее двойное неравенство равносильно такому: \(-2 \leqslant 3 - x < 1\). Отсюда \(-5 \leqslant -x < -2\); \(2 < x \leqslant 5\). Целые решения: 3; 4; 5, всего 3 числа.
3) Запишем все три части двойного неравенства как степени с основанием \(0{,}5\): \(2 = 0{,}5^{-1}\), \(32 = 0{,}5^{-5}\). Получаем: \(0{,}5^{-1} < 0{,}5^{x - 1} \leqslant 0{,}5^{-5}\). Так как \(0 < 0{,}5 < 1\), то знаки последнего двойного неравенства меняются на противоположные: \(-1 > x - 1 \geqslant -5\), то есть \(-5 \leqslant x - 1 < -1\). Отсюда \(-4 \leqslant x < 0\). Целые решения: \(-4\); \(-3\); \(-2\); \(-1\), всего 4 числа.
Ответ: 1) 5 целых решений; 2) 3 целых решения; 3) 4 целых решения.
