Страница 28 номер 3.22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство: 1) \(3 \cdot 4^{x} + 2 \cdot 9^{x} - 5 \cdot 6^{x} < 0\); 2) \(5 \cdot 25^{\frac{1}{x}} + 3 \cdot 10^{\frac{1}{x}} \ge 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}}\).
1) \(4^{x} = \left(2^{x}\right)^{2}\), \(9^{x} = \left(3^{x}\right)^{2}\), \(6^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x}\); разделим обе части на положительное \(9^{x}\): \(3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{x} - 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{x} + 2 < 0\).
\(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = t\), \(t > 0\), \(\left(\frac{4}{9}\right)^{x} = t^{2}\): \(3t^{2} - 5t + 2 < 0\); корни \(\frac{2}{3}\) и 1, поэтому \(\frac{2}{3} < t < 1\), то есть \(\left(\frac{2}{3}\right)^{1} < \left(\frac{2}{3}\right)^{x} < \left(\frac{2}{3}\right)^{0}\).
Так как \(0 < \frac{2}{3} < 1\), то двойное неравенство меняет знаки на противоположные: \(1 > x > 0\), то есть \(0 < x < 1\).
2) Выражение \(\frac{1}{x}\) определено при \(x \ne 0\).
\(25^{\frac{1}{x}} = \left(5^{\frac{1}{x}}\right)^{2}\), \(10^{\frac{1}{x}} = 5^{\frac{1}{x}} \cdot 2^{\frac{1}{x}}\), \(4^{\frac{1}{x}} = \left(2^{\frac{1}{x}}\right)^{2}\); разделим обе части на положительное \(4^{\frac{1}{x}}\): \(5 \cdot \left(\frac{25}{4}\right)^{\frac{1}{x}} + 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} - 2 \geqslant 0\).
\(\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = t\), \(t > 0\), \(\left(\frac{25}{4}\right)^{\frac{1}{x}} = t^{2}\): \(5t^{2} + 3t - 2 \geqslant 0\); корни \(-1\) и \(\frac{2}{5}\), поэтому \(t \leqslant -1\) или \(t \geqslant \frac{2}{5}\).
Неравенство \(\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \leqslant -1\) решений не имеет; остаётся \(\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \geqslant \left(\frac{5}{2}\right)^{-1}\), а основание больше единицы, поэтому \(\frac{1}{x} \geqslant -1\).
\(\frac{1}{x} + 1 \geqslant 0\); \(\frac{1 + x}{x} \geqslant 0\); числитель обращается в нуль при \(x = -1\), знаменатель — при \(x = 0\), и методом интервалов получаем \(x \leqslant -1\) или \(x > 0\).
Ответ: 1) \((0;\ 1)\); 2) \((-\infty;\ -1] \cup (0;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(3 \cdot 4^{x} + 2 \cdot 9^{x} - 5 \cdot 6^{x} < 0\); 2) \(5 \cdot 25^{\frac{1}{x}} + 3 \cdot 10^{\frac{1}{x}} \ge 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}}\).
1) Так как \(4^{x} = \left(2^{x}\right)^{2}\), \(9^{x} = \left(3^{x}\right)^{2}\) и \(6^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x}\), данное неравенство однородное. Так как \(9^{x} > 0\) при любом \(x\), то, разделив обе части на \(9^{x}\), получаем равносильное неравенство \(3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{x} - 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{x} + 2 < 0\).
Положим \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = t\). Тогда \(t > 0\), \(\left(\frac{4}{9}\right)^{x} = t^{2}\) и неравенство принимает вид \(3t^{2} - 5t + 2 < 0\). Корни трёхчлена \(3t^{2} - 5t + 2\) — числа \(\frac{2}{3}\) и 1, поэтому \(\frac{2}{3} < t < 1\).
Отсюда \(\left(\frac{2}{3}\right)^{1} < \left(\frac{2}{3}\right)^{x} < \left(\frac{2}{3}\right)^{0}\). Так как \(0 < \frac{2}{3} < 1\), то двойное неравенство меняет знаки на противоположные: \(1 > x > 0\), то есть \(0 < x < 1\).
2) Выражение \(\frac{1}{x}\) определено при \(x \ne 0\).
Так как \(25^{\frac{1}{x}} = \left(5^{\frac{1}{x}}\right)^{2}\), \(10^{\frac{1}{x}} = 5^{\frac{1}{x}} \cdot 2^{\frac{1}{x}}\) и \(4^{\frac{1}{x}} = \left(2^{\frac{1}{x}}\right)^{2}\), данное неравенство однородное. Так как \(4^{\frac{1}{x}} > 0\), то, разделив обе части на \(4^{\frac{1}{x}}\), получаем равносильное неравенство \(5 \cdot \left(\frac{25}{4}\right)^{\frac{1}{x}} + 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} - 2 \geqslant 0\).
Положим \(\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = t\). Тогда \(t > 0\), \(\left(\frac{25}{4}\right)^{\frac{1}{x}} = t^{2}\) и неравенство принимает вид \(5t^{2} + 3t - 2 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(5t^{2} + 3t - 2\) — числа \(-1\) и \(\frac{2}{5}\), поэтому \(t \leqslant -1\) или \(t \geqslant \frac{2}{5}\).
Неравенство \(\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \leqslant -1\) решений не имеет. Остаётся неравенство \(\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \geqslant \left(\frac{5}{2}\right)^{-1}\), которое при основании, большем единицы, равносильно неравенству \(\frac{1}{x} \geqslant -1\).
Отсюда \(\frac{1}{x} + 1 \geqslant 0\); \(\frac{1 + x}{x} \geqslant 0\). Числитель этой дроби обращается в нуль при \(x = -1\), знаменатель — при \(x = 0\); методом интервалов получаем \(x \leqslant -1\) или \(x > 0\).
Ответ: 1) \((0;\ 1)\); 2) \((-\infty;\ -1] \cup (0;\ +\infty)\).
