Страница 23 номер 2.29, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((\sqrt{x} - a)(3^{2x} - 4 \cdot 3^{x} + 3) = 0\) имеет два различных корня?
Уравнение имеет смысл при \(x \geqslant 0\); произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель.
В уравнении \(3^{2x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0\) положим \(3^{x} = t\): \(t^2 - 4t + 3 = 0\), откуда \(t = 1\) или \(t = 3\), то есть \(x = 0\) или \(x = 1\). Оба числа неотрицательны, поэтому корни 0 и 1 есть при любом значении параметра.
Уравнение \(\sqrt{x} = a\) при \(a < 0\) корней не имеет, а при \(a \geqslant 0\) имеет единственный корень \(x = a^2\).
Значит, корней ровно два тогда и только тогда, когда уравнение \(\sqrt{x} = a\) либо не имеет корней (\(a < 0\)), либо его корень совпадает с числом 0 (\(a^2 = 0\), то есть \(a = 0\)) или с числом 1 (\(a^2 = 1\) и \(a \geqslant 0\), то есть \(a = 1\)).
Объединяя случаи, получаем \(a \leqslant 0\) или \(a = 1\).
Ответ: \((-\infty;\ 0] \cup \{1\}\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \((\sqrt{x} - a)(3^{2x} - 4 \cdot 3^{x} + 3) = 0\) имеет два различных корня?
Уравнение имеет смысл при \(x \geqslant 0\). Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Решим уравнение \(3^{2x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0\). Пусть \(3^{x} = t\). Тогда \(t^2 - 4t + 3 = 0\), откуда \(t = 1\) или \(t = 3\). Значит, \(3^{x} = 3^{0}\) или \(3^{x} = 3^{1}\), то есть \(x = 0\) или \(x = 1\). Оба числа неотрицательны, поэтому при любом значении параметра данное уравнение имеет корни 0 и 1.
Уравнение \(\sqrt{x} = a\) при \(a < 0\) корней не имеет, а при \(a \geqslant 0\) имеет единственный корень \(x = a^2\).
Значит, данное уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда уравнение \(\sqrt{x} = a\) либо не имеет корней, либо его корень совпадает с числом 0 или с числом 1:
- \(a < 0\) — корней нет;
- \(a^2 = 0\), то есть \(a = 0\), — корень совпадает с числом 0;
- \(a^2 = 1\) и \(a \geqslant 0\), то есть \(a = 1\), — корень совпадает с числом 1.
Объединяя эти случаи, получаем \(a \leqslant 0\) или \(a = 1\).
Ответ: \((-\infty;\ 0] \cup \{1\}\).
