Страница 27 номер 3.6, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{x}}\); 2) \(f(x) = \frac{3}{\sqrt{3^{x + 2} - 27}}\).
1) Подкоренное выражение неотрицательно: \(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \geqslant 0\), то есть \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{0}\). Так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), знак меняется: \(x \geqslant 0\). Область определения функции \(f\) — промежуток \([0;\ +\infty)\).
2) Корень стоит в знаменателе, поэтому подкоренное выражение положительно: \(3^{x + 2} - 27 > 0\), то есть \(3^{x + 2} > 3^{3}\). Основание больше единицы, поэтому \(x + 2 > 3\); \(x > 1\). Область определения функции \(f\) — промежуток \((1;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \(D(f) = [0;\ +\infty)\); 2) \(D(f) = (1;\ +\infty)\).
Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{x}}\); 2) \(f(x) = \frac{3}{\sqrt{3^{x + 2} - 27}}\).
1) Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным: \(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \geqslant 0\), то есть \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \leqslant 1\). Запишем единицу как степень с основанием \(\frac{1}{2}\): \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{0}\). Так как \(0 < \frac{1}{2} < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(x \geqslant 0\). Значит, областью определения функции \(f\) является промежуток \([0;\ +\infty)\).
2) Корень стоит в знаменателе дроби, поэтому подкоренное выражение должно быть положительным: \(3^{x + 2} - 27 > 0\), то есть \(3^{x + 2} > 3^{3}\). Основание степеней больше единицы, поэтому последнее неравенство равносильно такому: \(x + 2 > 3\); \(x > 1\). Значит, областью определения функции \(f\) является промежуток \((1;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \(D(f) = [0;\ +\infty)\); 2) \(D(f) = (1;\ +\infty)\).
