Страница 22 номер 2.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(9^{x} - (a + 1) \cdot 3^{x} + 3a - 6 = 0\) имеет единственный корень?
Пусть \(3^{x} = t\); тогда \[t^2 - (a + 1)t + 3a - 6 = 0.\]
\(D = (a + 1)^2 - 4(3a - 6) = a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2\).
\(t = \frac{(a + 1) + (a - 5)}{2} = a - 2\) или \(t = \frac{(a + 1) - (a - 5)}{2} = 3\).
Значит, уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 3^{x} = 3, \\ 3^{x} = a - 2. \end{array}\right.\]
Первое уравнение имеет единственный корень \(x = 1\); второе имеет не более одного корня, так как каждое положительное значение показательная функция принимает ровно один раз, а отрицательных значений и нуля не принимает.
Значит, второе уравнение должно либо не иметь корней, либо иметь корень, равный 1.
При \(a - 2 \leqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 2\), уравнение \(3^{x} = a - 2\) корней не имеет.
Корень равен 1, если \(3^{1} = a - 2\), откуда \(a = 5\).
Ответ: \((-\infty;\ 2] \cup \{5\}\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(9^{x} - (a + 1) \cdot 3^{x} + 3a - 6 = 0\) имеет единственный корень?
Пусть \(3^{x} = t\). Тогда \(9^{x} = t^2\), и данное уравнение принимает вид \[t^2 - (a + 1)t + 3a - 6 = 0.\]
Найдём корни этого квадратного уравнения относительно \(t\): \[D = (a + 1)^2 - 4(3a - 6) = a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2.\]
Значит, \(t = \frac{(a + 1) + (a - 5)}{2} = a - 2\) или \(t = \frac{(a + 1) - (a - 5)}{2} = 3\).
Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 3^{x} = 3, \\ 3^{x} = a - 2. \end{array}\right.\]
Первое уравнение совокупности имеет единственный корень \(x = 1\). Второе уравнение при каждом значении параметра или имеет один корень, или вообще не имеет корней: показательная функция каждое положительное значение принимает ровно один раз, а отрицательных значений и нуля не принимает.
Для выполнения условия задачи второе уравнение совокупности должно либо не иметь корней, либо иметь единственный корень, равный 1.
Если \(a - 2 \leqslant 0\), то есть \(a \leqslant 2\), то уравнение \(3^{x} = a - 2\) корней не имеет.
Число 1 является корнем второго уравнения совокупности, если \(3^{1} = a - 2\). Отсюда \(a = 5\).
Ответ: \((-\infty;\ 2] \cup \{5\}\).
