Страница 23 номер 2.35, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(2^{|x|} = ax^2 + a^2\) имеет единственное решение?
Обе части — чётные функции: \(2^{|-x|} = 2^{|x|}\) и \(a(-x)^{2} + a^2 = ax^2 + a^2\). Поэтому вместе с корнем \(x_0\) есть корень \(-x_0\), и единственным корень может быть только при \(x_0 = 0\).
Подставим \(x = 0\): \(2^{0} = a \cdot 0 + a^2\); \(a^2 = 1\), откуда \(a = -1\) или \(a = 1\).
При \(a = 1\) уравнение \(2^{|x|} = x^2 + 1\) имеет, кроме числа 0, корни 1 и \(-1\) (обе части равны 2) — единственного корня нет.
При \(a = -1\) уравнение принимает вид \(2^{|x|} = 1 - x^2\). Так как \(|x| \geqslant 0\), а основание 2 больше единицы, то \(2^{|x|} \geqslant 2^{0} = 1\), тогда как \(1 - x^2 \leqslant 1\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 2^{|x|} = 1, \\ 1 - x^2 = 1. \end{cases}\]
Каждое уравнение системы даёт \(x = 0\) — корень единственный.
Ответ: \(a = -1\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(2^{|x|} = ax^2 + a^2\) имеет единственное решение?
Обе части уравнения — чётные функции переменной \(x\): \(2^{|-x|} = 2^{|x|}\) и \(a(-x)^{2} + a^2 = ax^2 + a^2\). Поэтому вместе с каждым корнем \(x_0\) уравнение имеет и корень \(-x_0\), а единственным корень может быть только тогда, когда \(x_0 = -x_0\), то есть при \(x_0 = 0\).
Подставим \(x = 0\) в уравнение: \(2^{0} = a \cdot 0 + a^2\); \(a^2 = 1\). Отсюда \(a = -1\) или \(a = 1\). Проверим каждое из этих значений.
Если \(a = 1\), то уравнение принимает вид \(2^{|x|} = x^2 + 1\). Кроме числа 0, его корнями являются числа 1 и \(-1\): и при \(x = 1\), и при \(x = -1\) обе части равны 2. Значит, единственного корня уравнение не имеет.
Если \(a = -1\), то уравнение принимает вид \(2^{|x|} = 1 - x^2\). Так как \(|x| \geqslant 0\), а основание 2 больше единицы, то \(2^{|x|} \geqslant 2^{0} = 1\); в то же время \(1 - x^2 \leqslant 1\). Значит, уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 2^{|x|} = 1, \\ 1 - x^2 = 1. \end{cases}\]
Каждое уравнение системы даёт \(x = 0\), то есть корень единственный.
Ответ: \(a = -1\).
