Страница 28 номер 3.31, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите неравенство \((3^{x} - 9)\sqrt{x^2 - 2x - 8} \le 0\).
ОДЗ: \(x^{2} - 2x - 8 \geqslant 0\); корни трёхчлена — числа \(-2\) и 4, поэтому ОДЗ — объединение промежутков \((-\infty;\ -2]\) и \([4;\ +\infty)\).
Множитель \(\sqrt{x^{2} - 2x - 8}\) неотрицателен и равен нулю только при \(x = -2\) и при \(x = 4\), поэтому произведение неположительно, когда этот множитель равен нулю или когда он положителен, а множитель \(3^{x} - 9\) неположителен, то есть \(3^{x} \leqslant 3^{2}\) и \(x \leqslant 2\) (основание 3 больше единицы).
При \(x \leqslant -2\) множитель \(3^{x} - 9\) отрицателен, а корень неотрицателен, поэтому произведение неположительно при каждом таком значении переменной.
При \(x \geqslant 4\) множитель \(3^{x} - 9\) положителен, поэтому подходит только значение \(x = 4\), при котором корень равен нулю.
Ответ: \((-\infty;\ -2] \cup \{4\}\).
Решите неравенство \((3^{x} - 9)\sqrt{x^2 - 2x - 8} \le 0\).
Область допустимых значений неравенства задаётся условием \(x^{2} - 2x - 8 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(x^{2} - 2x - 8\) — числа \(-2\) и 4, поэтому область допустимых значений — объединение промежутков \((-\infty;\ -2]\) и \([4;\ +\infty)\).
На области допустимых значений множитель \(\sqrt{x^{2} - 2x - 8}\) неотрицателен, причём он равен нулю только при \(x = -2\) и при \(x = 4\). Поэтому произведение неположительно в двух случаях: когда этот множитель равен нулю или когда он положителен, а множитель \(3^{x} - 9\) неположителен.
Неравенство \(3^{x} - 9 \leqslant 0\) равносильно неравенству \(3^{x} \leqslant 3^{2}\), а оно при основании, большем единицы, равносильно неравенству \(x \leqslant 2\).
При \(x \leqslant -2\) выполняется неравенство \(x < 2\), поэтому множитель \(3^{x} - 9\) отрицателен, а корень неотрицателен. Значит, произведение неположительно при каждом таком значении переменной.
При \(x \geqslant 4\) выполняется неравенство \(x > 2\), поэтому множитель \(3^{x} - 9\) положителен. Значит, на этой части области допустимых значений произведение неположительно только там, где корень равен нулю, то есть при \(x = 4\).
Ответ: \((-\infty;\ -2] \cup \{4\}\).
