Страница 26 номер 3.1, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Равносильны ли неравенства: 1) \(7^{2x + 4} > 7^{x - 1}\) и \(2x + 4 > x - 1\); 2) \(0{,}9^{x^2 - 4} < 0{,}9^{x + 2}\) и \(x^2 - 4 < x + 2\); 3) \(a^{x} > a^{5}\), где \(a > 1\), и \(x > 5\); 4) \(a^{x} < a^{-3}\), где \(0 < a < 1\), и \(x < -3\)?
1) Основание 7 больше единицы, поэтому \(7^{2x + 4} > 7^{x - 1}\) равносильно неравенству \(2x + 4 > x - 1\) — данные неравенства равносильны.
2) Основание \(0{,}9\) меньше единицы, поэтому знак меняется: \(0{,}9^{x^{2} - 4} < 0{,}9^{x + 2}\) равносильно неравенству \(x^{2} - 4 > x + 2\), а не записанному в условии. Решения неравенства \(x^{2} - 4 > x + 2\) — \((-\infty;\ -2) \cup (3;\ +\infty)\), решения неравенства \(x^{2} - 4 < x + 2\) — промежуток \((-2;\ 3)\); множества не совпадают, значит, неравенства не равносильны.
3) По условию \(a > 1\), поэтому \(a^{x} > a^{5}\) равносильно неравенству \(x > 5\) — данные неравенства равносильны.
4) По условию \(0 < a < 1\), поэтому знак меняется: \(a^{x} < a^{-3}\) равносильно неравенству \(x > -3\), а не неравенству \(x < -3\); множества решений \((-3;\ +\infty)\) и \((-\infty;\ -3)\) не совпадают, значит, неравенства не равносильны.
Ответ: 1) равносильны; 2) не равносильны; 3) равносильны; 4) не равносильны.
Равносильны ли неравенства: 1) \(7^{2x + 4} > 7^{x - 1}\) и \(2x + 4 > x - 1\); 2) \(0{,}9^{x^2 - 4} < 0{,}9^{x + 2}\) и \(x^2 - 4 < x + 2\); 3) \(a^{x} > a^{5}\), где \(a > 1\), и \(x > 5\); 4) \(a^{x} < a^{-3}\), где \(0 < a < 1\), и \(x < -3\)?
Два неравенства равносильны, если множества их решений совпадают. При переходе от степеней к показателям знак неравенства сохраняется, когда основание степеней больше единицы, и меняется на противоположный, когда основание меньше единицы.
1) Основание степеней равно 7, то есть больше единицы, поэтому неравенство \(7^{2x + 4} > 7^{x - 1}\) равносильно неравенству \(2x + 4 > x - 1\). Данные неравенства равносильны.
2) Основание степеней равно \(0{,}9\), то есть меньше единицы, поэтому неравенство \(0{,}9^{x^{2} - 4} < 0{,}9^{x + 2}\) равносильно неравенству \(x^{2} - 4 > x + 2\), а не тому, которое записано в условии. Множество решений неравенства \(x^{2} - 4 > x + 2\) — \((-\infty;\ -2) \cup (3;\ +\infty)\), множество решений неравенства \(x^{2} - 4 < x + 2\) — промежуток \((-2;\ 3)\). Множества решений не совпадают, значит, данные неравенства не равносильны.
3) По условию \(a > 1\), поэтому неравенство \(a^{x} > a^{5}\) равносильно неравенству \(x > 5\). Данные неравенства равносильны.
4) По условию \(0 < a < 1\), поэтому неравенство \(a^{x} < a^{-3}\) равносильно неравенству \(x > -3\), а не неравенству \(x < -3\). Множества решений \((-3;\ +\infty)\) и \((-\infty;\ -3)\) не совпадают, значит, данные неравенства не равносильны.
Ответ: 1) равносильны; 2) не равносильны; 3) равносильны; 4) не равносильны.
