Страница 27 номер 3.9, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Так как \(\frac{9}{49} = \left(\frac{3}{7}\right)^{2}\), то \(\left(\frac{3}{7}\right)^{x^{2} - x} < \left(\frac{3}{7}\right)^{2}\). Так как \(0 < \frac{3}{7} < 1\), знак меняется: \(x^{2} - x > 2\); \(x^{2} - x - 2 > 0\); \((x + 1)(x - 2) > 0\), то есть \(x < -1\) или \(x > 2\).
2) \(4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5x^{2}} = 2^{2 - 5x^{2}}\), \(\left(\frac{1}{8}\right)^{-3x} = 2^{9x}\), поэтому \(2^{2 - 5x^{2}} \leqslant 2^{9x}\). Основание больше единицы, поэтому \(2 - 5x^{2} \leqslant 9x\); \(5x^{2} + 9x - 2 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(5x^{2} + 9x - 2\) — числа \(-2\) и \(\frac{1}{5}\), старший коэффициент положителен, поэтому \(x \leqslant -2\) или \(x \geqslant \frac{1}{5}\).
3) Дробь \(\frac{x^{2} - 4}{x - 1}\) имеет смысл при \(x \ne 1\).
\(0{,}3^{\frac{x^{2} - 4}{x - 1}} > 0{,}3^{0}\). Так как \(0 < 0{,}3 < 1\), знак меняется: \(\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 1} < 0\).
Нули числителя и знаменателя — числа \(-2\), 1 и 2; каждое входит в разложение в первой степени, поэтому при переходе через него дробь меняет знак. При \(x > 2\) все три множителя положительны, значит, дробь положительна; чередуя знаки, получаем, что дробь отрицательна на промежутках \((-\infty;\ -2)\) и \((1;\ 2)\).
4) Так как \(\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\) и \(9^{-0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} = \left(\sqrt{3}\right)^{-2}\), то \(\left(\sqrt{3}\right)^{x - 1} > \left(\sqrt{3}\right)^{-2}\). Из неравенства \(3 > 1\) следует, что \(\sqrt{3} > 1\), поэтому \(x - 1 > -2\); \(x > -1\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -1) \cup (2;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ -2] \cup \left[\frac{1}{5};\ +\infty\right)\); 3) \((-\infty;\ -2) \cup (1;\ 2)\); 4) \((-1;\ +\infty)\).
1) Запишем правую часть как степень с основанием \(\frac{3}{7}\): \(\frac{9}{49} = \left(\frac{3}{7}\right)^{2}\). Получаем неравенство \(\left(\frac{3}{7}\right)^{x^{2} - x} < \left(\frac{3}{7}\right)^{2}\). Так как \(0 < \frac{3}{7} < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(x^{2} - x > 2\). Отсюда \(x^{2} - x - 2 > 0\); \((x + 1)(x - 2) > 0\). Решения последнего неравенства — числа \(x < -1\) и числа \(x > 2\).
2) Представим обе части в виде степени с основанием 2: \(4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5x^{2}} = 2^{2} \cdot 2^{-5x^{2}} = 2^{2 - 5x^{2}}\), \(\left(\frac{1}{8}\right)^{-3x} = \left(2^{-3}\right)^{-3x} = 2^{9x}\). Получаем неравенство \(2^{2 - 5x^{2}} \leqslant 2^{9x}\). Так как основание степеней больше единицы, то последнее неравенство равносильно такому: \(2 - 5x^{2} \leqslant 9x\). Отсюда \(5x^{2} + 9x - 2 \geqslant 0\). Корни квадратного трёхчлена \(5x^{2} + 9x - 2\) — числа \(-2\) и \(\frac{1}{5}\), старший коэффициент положителен, поэтому \(x \leqslant -2\) или \(x \geqslant \frac{1}{5}\).
3) Дробь \(\frac{x^{2} - 4}{x - 1}\) имеет смысл при \(x \ne 1\). Запишем единицу справа как степень с основанием \(0{,}3\): \(0{,}3^{\frac{x^{2} - 4}{x - 1}} > 0{,}3^{0}\). Так как \(0 < 0{,}3 < 1\), то последнее неравенство равносильно такому: \(\frac{x^{2} - 4}{x - 1} < 0\); \(\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 1} < 0\). Нули числителя и знаменателя — числа \(-2\), 1 и 2; каждое из них входит в разложение в первой степени, поэтому при переходе через него дробь меняет знак. При \(x > 2\) все три множителя положительны, значит, дробь положительна; чередуя знаки при переходе через каждый нуль, получаем, что дробь отрицательна на промежутках \((-\infty;\ -2)\) и \((1;\ 2)\).
4) Так как \(\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\) и \(9^{-0{,}5} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} = \left(\sqrt{3}\right)^{-2}\), то данное неравенство можно переписать так: \(\left(\sqrt{3}\right)^{x - 1} > \left(\sqrt{3}\right)^{-2}\). Из неравенства \(3 > 1\) следует, что \(\sqrt{3} > 1\), поэтому последнее неравенство равносильно такому: \(x - 1 > -2\). Отсюда \(x > -1\).
Ответ: 1) \((-\infty;\ -1) \cup (2;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ -2] \cup \left[\frac{1}{5};\ +\infty\right)\); 3) \((-\infty;\ -2) \cup (1;\ 2)\); 4) \((-1;\ +\infty)\).
