Страница 22 номер 2.23, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(4^{x + \frac{1}{2}} + \frac{2}{4^{x}} + 14 = 9\left(2^{x} + \frac{1}{2^{x}}\right)\); 2) \(9^{x + \frac{1}{2}} + \frac{3}{9^{x}} + 26 = 16(3^{x} + 3^{-x})\).
1) Так как \(4^{x + \frac{1}{2}} = 2 \cdot 4^{x}\) и \(\frac{2}{4^{x}} = 2 \cdot 4^{-x}\), уравнение принимает вид \[2\left(4^{x} + 4^{-x}\right) + 14 = 9\left(2^{x} + 2^{-x}\right).\]
Пусть \(2^{x} + 2^{-x} = t\); тогда \(t^2 = 4^{x} + 2 + 4^{-x}\), откуда \(4^{x} + 4^{-x} = t^2 - 2\).
\(2\left(t^2 - 2\right) + 14 = 9t\), то есть \(2t^2 - 9t + 10 = 0\), откуда \(t = 2\) или \(t = \frac{5}{2}\).
Пусть \(2^{x} = u\), где \(u > 0\).
При \(t = 2\): \(u + \frac{1}{u} = 2\); \(u^2 - 2u + 1 = 0\); \(u = 1\), то есть \(2^{x} = 2^{0}\) и \(x = 0\).
При \(t = \frac{5}{2}\): \(2u^2 - 5u + 2 = 0\); \(u = 2\) или \(u = \frac{1}{2}\), то есть \(x = 1\) или \(x = -1\).
2) Так как \(9^{x + \frac{1}{2}} = 3 \cdot 9^{x}\) и \(\frac{3}{9^{x}} = 3 \cdot 9^{-x}\), уравнение принимает вид \[3\left(9^{x} + 9^{-x}\right) + 26 = 16\left(3^{x} + 3^{-x}\right).\]
Пусть \(3^{x} + 3^{-x} = t\); тогда \(t^2 = 9^{x} + 2 + 9^{-x}\), откуда \(9^{x} + 9^{-x} = t^2 - 2\).
\(3\left(t^2 - 2\right) + 26 = 16t\), то есть \(3t^2 - 16t + 20 = 0\), откуда \(t = 2\) или \(t = \frac{10}{3}\).
Пусть \(3^{x} = u\), где \(u > 0\).
При \(t = 2\): \(u + \frac{1}{u} = 2\); \(u^2 - 2u + 1 = 0\); \(u = 1\), то есть \(3^{x} = 3^{0}\) и \(x = 0\).
При \(t = \frac{10}{3}\): \(3u^2 - 10u + 3 = 0\); \(u = 3\) или \(u = \frac{1}{3}\), то есть \(x = 1\) или \(x = -1\).
Ответ: 1) \(-1\); 0; 1; 2) \(-1\); 0; 1.
Решите уравнение: 1) \(4^{x + \frac{1}{2}} + \frac{2}{4^{x}} + 14 = 9\left(2^{x} + \frac{1}{2^{x}}\right)\); 2) \(9^{x + \frac{1}{2}} + \frac{3}{9^{x}} + 26 = 16(3^{x} + 3^{-x})\).
1) Так как \(4^{x + \frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{x} = 2 \cdot 4^{x}\) и \(\frac{2}{4^{x}} = 2 \cdot 4^{-x}\), данное уравнение можно переписать так: \[2\left(4^{x} + 4^{-x}\right) + 14 = 9\left(2^{x} + 2^{-x}\right).\]
Пусть \(2^{x} + 2^{-x} = t\). Тогда \(t^2 = \left(2^{x}\right)^{2} + 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x} + \left(2^{-x}\right)^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{-x}\), откуда \(4^{x} + 4^{-x} = t^2 - 2\).
Уравнение принимает вид \(2\left(t^2 - 2\right) + 14 = 9t\), то есть \[2t^2 - 9t + 10 = 0.\]
Отсюда \(t = 2\) или \(t = \frac{5}{2}\).
Если \(t = 2\), то \(2^{x} + 2^{-x} = 2\). Пусть \(2^{x} = u\), где \(u > 0\). Тогда \(u + \frac{1}{u} = 2\); \(u^2 - 2u + 1 = 0\); \(u = 1\). Значит, \(2^{x} = 2^{0}\); \(x = 0\).
Если \(t = \frac{5}{2}\), то \(u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}\); \(2u^2 - 5u + 2 = 0\); \(u = 2\) или \(u = \frac{1}{2}\). Значит, \(2^{x} = 2^{1}\) или \(2^{x} = 2^{-1}\), то есть \(x = 1\) или \(x = -1\).
2) Так как \(9^{x + \frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2}} \cdot 9^{x} = 3 \cdot 9^{x}\) и \(\frac{3}{9^{x}} = 3 \cdot 9^{-x}\), данное уравнение можно переписать так: \[3\left(9^{x} + 9^{-x}\right) + 26 = 16\left(3^{x} + 3^{-x}\right).\]
Пусть \(3^{x} + 3^{-x} = t\). Тогда \(t^2 = 9^{x} + 2 + 9^{-x}\), откуда \(9^{x} + 9^{-x} = t^2 - 2\).
Уравнение принимает вид \(3\left(t^2 - 2\right) + 26 = 16t\), то есть \[3t^2 - 16t + 20 = 0.\]
Отсюда \(t = 2\) или \(t = \frac{10}{3}\).
Если \(t = 2\), то \(3^{x} + 3^{-x} = 2\). Пусть \(3^{x} = u\), где \(u > 0\). Тогда \(u + \frac{1}{u} = 2\); \(u^2 - 2u + 1 = 0\); \(u = 1\). Значит, \(3^{x} = 3^{0}\); \(x = 0\).
Если \(t = \frac{10}{3}\), то \(u + \frac{1}{u} = \frac{10}{3}\); \(3u^2 - 10u + 3 = 0\); \(u = 3\) или \(u = \frac{1}{3}\). Значит, \(3^{x} = 3^{1}\) или \(3^{x} = 3^{-1}\), то есть \(x = 1\) или \(x = -1\).
Ответ: 1) \(-1\); 0; 1; 2) \(-1\); 0; 1.
