Страница 22 номер 2.22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(\left(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\right)^{x} + \left(\sqrt{4 - \sqrt{15}}\right)^{x} = 8\).
Так как \(\left(4 + \sqrt{15}\right)\left(4 - \sqrt{15}\right) = 16 - 15 = 1\), числа \(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\) и \(\sqrt{4 - \sqrt{15}}\) взаимно обратны.
Пусть \(\left(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\right)^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(\left(\sqrt{4 - \sqrt{15}}\right)^{x} = \frac{1}{t}\) и \(t + \frac{1}{t} = 8\); умножив на \(t\), получаем \(t^2 - 8t + 1 = 0\), откуда \(t = 4 + \sqrt{15}\) или \(t = 4 - \sqrt{15}\).
Основание \(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\) больше единицы, поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей.
При \(t = 4 + \sqrt{15}\): \(\left(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\right)^{x} = \left(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\right)^{2}\); \(x = 2\).
При \(t = 4 - \sqrt{15} = \left(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\right)^{-2}\): \(x = -2\).
Ответ: \(-2\); 2.
Решите уравнение \(\left(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\right)^{x} + \left(\sqrt{4 - \sqrt{15}}\right)^{x} = 8\).
Так как \(\left(4 + \sqrt{15}\right)\left(4 - \sqrt{15}\right) = 16 - 15 = 1\), то и \(\sqrt{4 + \sqrt{15}} \cdot \sqrt{4 - \sqrt{15}} = 1\), то есть числа \(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\) и \(\sqrt{4 - \sqrt{15}}\) взаимно обратны: \(\sqrt{4 - \sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{4 + \sqrt{15}}}\).
Пусть \(\left(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\right)^{x} = t\). Тогда \(\left(\sqrt{4 - \sqrt{15}}\right)^{x} = \frac{1}{t}\), и данное уравнение принимает вид \(t + \frac{1}{t} = 8\). Так как \(t > 0\), умножим обе части на \(t\): \[t^2 - 8t + 1 = 0.\]
Отсюда \(t = 4 + \sqrt{15}\) или \(t = 4 - \sqrt{15}\).
Основание \(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\) больше единицы, поэтому равенство степеней с этим основанием равносильно равенству показателей.
Если \(t = 4 + \sqrt{15}\), то \(\left(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\right)^{x} = \left(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\right)^{2}\). Отсюда \(x = 2\).
Если \(t = 4 - \sqrt{15}\), то, поскольку \(4 - \sqrt{15} = \frac{1}{4 + \sqrt{15}} = \left(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\right)^{-2}\), получаем \(x = -2\).
Ответ: \(-2\); 2.
