Страница 22 номер 2.21, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение \(\left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^{x} + \left(\sqrt{2 - \sqrt{3}}\right)^{x} = 4\).
Так как \(\left(2 + \sqrt{3}\right)\left(2 - \sqrt{3}\right) = 4 - 3 = 1\), числа \(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\) и \(\sqrt{2 - \sqrt{3}}\) взаимно обратны.
Пусть \(\left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}}\right)^{x} = \frac{1}{t}\) и \(t + \frac{1}{t} = 4\); умножив на \(t\), получаем \(t^2 - 4t + 1 = 0\), откуда \(t = 2 + \sqrt{3}\) или \(t = 2 - \sqrt{3}\).
Основание \(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\) больше единицы, поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей.
При \(t = 2 + \sqrt{3}\): \(\left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^{x} = \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^{2}\); \(x = 2\).
При \(t = 2 - \sqrt{3} = \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^{-2}\): \(x = -2\).
Ответ: \(-2\); 2.
Решите уравнение \(\left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^{x} + \left(\sqrt{2 - \sqrt{3}}\right)^{x} = 4\).
Так как \(\left(2 + \sqrt{3}\right)\left(2 - \sqrt{3}\right) = 4 - 3 = 1\), то и \(\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = 1\), то есть числа \(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\) и \(\sqrt{2 - \sqrt{3}}\) взаимно обратны: \(\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}\).
Пусть \(\left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^{x} = t\). Тогда \(\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}}\right)^{x} = \frac{1}{t}\), и данное уравнение принимает вид \(t + \frac{1}{t} = 4\). Так как \(t > 0\), умножим обе части на \(t\): \[t^2 - 4t + 1 = 0.\]
Отсюда \(t = 2 + \sqrt{3}\) или \(t = 2 - \sqrt{3}\).
Основание \(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\) больше единицы, поэтому равенство степеней с этим основанием равносильно равенству показателей.
Если \(t = 2 + \sqrt{3}\), то \(\left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^{x} = \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^{2}\). Отсюда \(x = 2\).
Если \(t = 2 - \sqrt{3}\), то, поскольку \(2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^{-2}\), получаем \(x = -2\).
Ответ: \(-2\); 2.
