Страница 29 номер 3.34, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(4^{\cos x} - 2(a - 3) \cdot 2^{\cos x} + a + 3 > 0\) выполняется при всех действительных \(x\)?
\(2^{\cos x} = t\). Так как \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\) и основание 2 больше единицы, то \(2^{-1} \leqslant 2^{\cos x} \leqslant 2^{1}\), то есть \(\frac{1}{2} \leqslant t \leqslant 2\), причём \(t\) принимает каждое значение отрезка \(\left[\frac{1}{2};\ 2\right]\) и никаких других.
Так как \(4^{\cos x} = t^{2}\), нужны все значения параметра, при которых неравенство \(t^{2} - 2(a - 3)t + a + 3 > 0\) выполняется при всех значениях \(t\) из отрезка \(\left[\frac{1}{2};\ 2\right]\).
Соберём в правой части слагаемые с параметром: \(t^{2} + 6t + 3 > a(2t - 1)\).
При \(t = \frac{1}{2}\) правая часть равна нулю, а левая — \(\frac{1}{4} + 3 + 3 = \frac{25}{4}\), поэтому неравенство выполняется при любом значении параметра.
При \(\frac{1}{2} < t \leqslant 2\) число \(2t - 1\) положительно, поэтому неравенство равносильно такому: \(a < \frac{t^{2} + 6t + 3}{2t - 1}\), и нужно наименьшее значение этой дроби на промежутке \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right]\).
Неравенство \(\frac{t^{2} + 6t + 3}{2t - 1} \geqslant \frac{19}{3}\) при \(2t - 1 > 0\) равносильно неравенству \(3\left(t^{2} + 6t + 3\right) \geqslant 19(2t - 1)\), то есть \(3t^{2} - 20t + 28 \geqslant 0\), или \((t - 2)(3t - 14) \geqslant 0\); на промежутке \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right]\) имеем \(t - 2 \leqslant 0\) и \(3t - 14 < 0\), поэтому произведение неотрицательно, причём равенство достигается только при \(t = 2\).
Значит, наименьшее значение дроби равно \(\frac{19}{3}\) и достигается при \(t = 2\), то есть при \(\cos x = 1\), поэтому неравенство выполняется при всех значениях \(t\) из промежутка \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right]\) тогда и только тогда, когда \(a < \frac{19}{3}\).
Ответ: \(a < \frac{19}{3}\).
При каких значениях параметра \(a\) неравенство \(4^{\cos x} - 2(a - 3) \cdot 2^{\cos x} + a + 3 > 0\) выполняется при всех действительных \(x\)?
Положим \(2^{\cos x} = t\). Так как \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\) и основание 2 больше единицы, то \(2^{-1} \leqslant 2^{\cos x} \leqslant 2^{1}\), то есть \(\frac{1}{2} \leqslant t \leqslant 2\). При этом косинус принимает каждое значение из отрезка \([-1;\ 1]\), поэтому переменная \(t\) принимает каждое значение из отрезка \(\left[\frac{1}{2};\ 2\right]\), и никаких других значений.
Так как \(4^{\cos x} = \left(2^{\cos x}\right)^{2} = t^{2}\), требуется найти все значения параметра, при которых неравенство \(t^{2} - 2(a - 3)t + a + 3 > 0\) выполняется при всех значениях \(t\) из отрезка \(\left[\frac{1}{2};\ 2\right]\).
Соберём в правой части слагаемые с параметром: \(t^{2} + 6t + 3 > a(2t - 1)\).
При \(t = \frac{1}{2}\) правая часть обращается в нуль, а левая равна \(\frac{1}{4} + 3 + 3 = \frac{25}{4}\), то есть при этом значении \(t\) неравенство выполняется при любом значении параметра.
При \(\frac{1}{2} < t \leqslant 2\) число \(2t - 1\) положительно, поэтому неравенство равносильно такому: \(a < \frac{t^{2} + 6t + 3}{2t - 1}\). Значит, требуется найти наименьшее значение этой дроби на промежутке \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right]\).
Покажем, что при \(\frac{1}{2} < t \leqslant 2\) выполняется неравенство \(\frac{t^{2} + 6t + 3}{2t - 1} \geqslant \frac{19}{3}\). Так как \(2t - 1 > 0\), оно равносильно неравенству \(3\left(t^{2} + 6t + 3\right) \geqslant 19(2t - 1)\), то есть \(3t^{2} - 20t + 28 \geqslant 0\), или \((t - 2)(3t - 14) \geqslant 0\). На промежутке \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right]\) выполняются неравенства \(t - 2 \leqslant 0\) и \(3t - 14 < 0\), поэтому произведение неотрицательно, причём равенство достигается только при \(t = 2\).
Значит, наименьшее значение дроби равно \(\frac{19}{3}\) и достигается при \(t = 2\), то есть при \(\cos x = 1\). Поэтому неравенство \(a < \frac{t^{2} + 6t + 3}{2t - 1}\) выполняется при всех значениях \(t\) из промежутка \(\left(\frac{1}{2};\ 2\right]\) тогда и только тогда, когда \(a < \frac{19}{3}\).
Ответ: \(a < \frac{19}{3}\).
