Вопросы после параграфа §4 на странице 34, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1. Что называют логарифмом положительного числа \(b\) по основанию \(a\)? 2. Какое равенство называют основным логарифмическим тождеством? 3. Сформулируйте теоремы о свойствах логарифмов.
Уравнение \(a^{x} = b\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\): так как \(a^{x} > 0\), при \(b \leqslant 0\) корней нет, а при \(b > 0\) корень единственный — его и называют логарифмом числа \(b\) по основанию \(a\) и обозначают \(\log_{a} b\).
Например, \(\log_{3} 9 = 2\), поскольку \(3^{2} = 9\); \(\log_{2}\frac{1}{8} = -3\), поскольку \(2^{-3} = \frac{1}{8}\).
Логарифм по основанию 10 называют десятичным и вместо \(\log_{10} b\) пишут \(\lg b\).
Ответ: логарифмом положительного числа \(b\) по основанию \(a\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\), называют показатель степени, в которую надо возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\); при \(b \leqslant 0\) выражение \(\log_{a} b\) смысла не имеет.
Число \(\log_{a} b\) — показатель степени, в которую надо возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\), поэтому \(a^{\log_{a} b} = b\) при \(a > 0\), \(a \ne 1\) и \(b > 0\).
Например, \(7^{\log_{7} 3} = 3\), \(0{,}3^{\log_{0{,}3} 5} = 5\), \(10^{\lg b} = b\) при \(b > 0\).
Ответ: основным логарифмическим тождеством называют равенство \(a^{\log_{a} b} = b\), которое выполняется при \(a > 0\), \(a \ne 1\) и \(b > 0\).
Пусть \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \ne 1\).
Логарифм произведения: \(\log_{a} xy = \log_{a} x + \log_{a} y\). Например, \(\log_{6} 2 + \log_{6} 3 = \log_{6} 6 = 1\).
Логарифм частного: \(\log_{a}\frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y\). Например, \(\log_{2} 12 - \log_{2} 3 = \log_{2} 4 = 2\).
Логарифм степени: \(\log_{a} x^{\beta} = \beta\log_{a} x\) для любого действительного \(\beta\). Например, \(\log_{3} 81 = \log_{3} 3^{4} = 4\log_{3} 3 = 4\).
Переход к другому основанию: \(\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\) при \(b > 0\), \(c > 0\) и \(c \ne 1\); следствия — \(\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}\) при \(b \ne 1\) и \(\log_{a^{\beta}} b = \frac{1}{\beta}\log_{a} b\) при \(\beta \ne 0\).
Ответ: при \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \ne 1\) верны равенства \(\log_{a} xy = \log_{a} x + \log_{a} y\) (логарифм произведения), \(\log_{a}\frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y\) (логарифм частного), \(\log_{a} x^{\beta} = \beta\log_{a} x\) для любого действительного \(\beta\) (логарифм степени) и \(\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\) при \(b > 0\), \(c > 0\), \(c \ne 1\) (переход к другому основанию), а также следствия \(\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}\) при \(b \ne 1\) и \(\log_{a^{\beta}} b = \frac{1}{\beta}\log_{a} b\) при \(\beta \ne 0\).
1. Что называют логарифмом положительного числа \(b\) по основанию \(a\)? 2. Какое равенство называют основным логарифмическим тождеством? 3. Сформулируйте теоремы о свойствах логарифмов.
Рассмотрим уравнение \(a^{x} = b\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\). Так как \(a^{x} > 0\) при любом действительном значении \(x\), то при \(b \leqslant 0\) это уравнение корней не имеет. Если же \(b > 0\), то оно имеет единственный корень; этот корень и называют логарифмом числа \(b\) по основанию \(a\), обозначая его \(\log_{a} b\).
Например, \(\log_{3} 9 = 2\), поскольку \(3^{2} = 9\); \(\log_{2}\frac{1}{8} = -3\), поскольку \(2^{-3} = \frac{1}{8}\).
Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и вместо \(\log_{10} b\) пишут \(\lg b\).
Ответ: логарифмом положительного числа \(b\) по основанию \(a\), где \(a > 0\) и \(a \ne 1\), называют показатель степени, в которую надо возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\); при \(b \leqslant 0\) выражение \(\log_{a} b\) смысла не имеет.
По определению логарифма число \(\log_{a} b\) — это показатель степени, в которую надо возвести число \(a\), чтобы получить число \(b\). Значит, возведя число \(a\) именно в эту степень, получим число \(b\): \(a^{\log_{a} b} = b\). Равенство верно при \(a > 0\), \(a \ne 1\) и \(b > 0\).
Например, \(7^{\log_{7} 3} = 3\), \(0{,}3^{\log_{0{,}3} 5} = 5\), а для десятичного логарифма \(10^{\lg b} = b\) при любом \(b > 0\).
Ответ: основным логарифмическим тождеством называют равенство \(a^{\log_{a} b} = b\), которое выполняется при \(a > 0\), \(a \ne 1\) и \(b > 0\).
Пусть \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \ne 1\).
Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей: \(\log_{a} xy = \log_{a} x + \log_{a} y\). Например, \(\log_{6} 2 + \log_{6} 3 = \log_{6} 6 = 1\).
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя: \(\log_{a}\frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y\). Например, \(\log_{2} 12 - \log_{2} 3 = \log_{2} 4 = 2\).
Логарифм степени равен произведению показателя этой степени на логарифм её основания: для любого действительного \(\beta\) верно равенство \(\log_{a} x^{\beta} = \beta\log_{a} x\). Например, \(\log_{3} 81 = \log_{3} 3^{4} = 4\log_{3} 3 = 4\).
Переход от одного основания логарифма к другому: если \(b > 0\), \(c > 0\) и \(c \ne 1\), то \(\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\). Из этой формулы получают два следствия: \(\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}\) при \(b \ne 1\) и \(\log_{a^{\beta}} b = \frac{1}{\beta}\log_{a} b\) при \(\beta \ne 0\).
Ответ: при \(x > 0\), \(y > 0\), \(a > 0\) и \(a \ne 1\) верны равенства \(\log_{a} xy = \log_{a} x + \log_{a} y\) (логарифм произведения), \(\log_{a}\frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y\) (логарифм частного), \(\log_{a} x^{\beta} = \beta\log_{a} x\) для любого действительного \(\beta\) (логарифм степени) и \(\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}\) при \(b > 0\), \(c > 0\), \(c \ne 1\) (переход к другому основанию), а также следствия \(\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}\) при \(b \ne 1\) и \(\log_{a^{\beta}} b = \frac{1}{\beta}\log_{a} b\) при \(\beta \ne 0\).
