Страница 34 номер 4.1, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. §4. Логарифм и его свойства. Страница 34. Номер 4.1

Решение:

Равенство \(\log_{a} b = c\) означает, что \(a^{c} = b\).

1) \(7^{-3} = \frac{1}{343}\), а не \(\frac{1}{49}\), поэтому равенство неверно; так как \(7^{-2} = \frac{1}{49}\), то \(\log_{7}\frac{1}{49} = -2\).

2) \(25^{2} = 625\), а не 5, поэтому равенство неверно; так как \(25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5\), то \(\log_{25} 5 = \frac{1}{2}\).

3) \(5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5}\), а не 125, поэтому равенство неверно; так как \(5^{3} = 125\), то \(\log_{5} 125 = 3\).

4) \(3^{-4} = \frac{1}{81}\), поскольку \(3^{4} = 81\). Значит, равенство верно.

5) \(\left(0{,}01\right)^{2} = 0{,}0001\), а не 10, поэтому равенство неверно; так как \(\left(0{,}01\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(10^{-2}\right)^{-\frac{1}{2}} = 10\), то \(\log_{0{,}01} 10 = -\frac{1}{2}\).

6) \(10^{-4} = 0{,}0001\). Значит, равенство верно.

7) \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\), \(3\sqrt[3]{3} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}\). Но \(\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(3^{-2}\right)^{\frac{2}{3}} = 3^{-\frac{4}{3}}\), а не \(3^{\frac{4}{3}}\), поэтому равенство неверно; так как \(\left(3^{-2}\right)^{-\frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}\), то \(\log_{\frac{1}{9}} 3\sqrt[3]{3} = -\frac{2}{3}\).

8) \(\left(\sqrt{5}\right)^{-2} = \frac{1}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = \frac{1}{5} = 0{,}2\). Значит, равенство верно.

Ответ: верны равенства 4), 6) и 8); равенства 1), 2), 3), 5), 7) неверны, верные значения таковы: \(\log_{7}\frac{1}{49} = -2\); \(\log_{25} 5 = \frac{1}{2}\); \(\log_{5} 125 = 3\); \(\log_{0{,}01} 10 = -\frac{1}{2}\); \(\log_{\frac{1}{9}} 3\sqrt[3]{3} = -\frac{2}{3}\).

Решение:

Равенство \(\log_{a} b = c\) по определению логарифма означает, что \(a^{c} = b\). Так и проверяем каждое равенство.

1) Равенство \(\log_{7}\frac{1}{49} = -3\) означало бы, что число \(\frac{1}{49}\) получается возведением числа 7 в степень \(-3\). Но \(7^{-3} = \frac{1}{343}\), а не \(\frac{1}{49}\), поэтому равенство неверно. Так как \(7^{-2} = \frac{1}{49}\), то \(\log_{7}\frac{1}{49} = -2\).

2) Равенство \(\log_{25} 5 = 2\) означало бы, что число 5 получается возведением числа 25 в квадрат. Но \(25^{2} = 625\), а не 5, поэтому равенство неверно. Так как \(25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5\), то \(\log_{25} 5 = \frac{1}{2}\).

3) Равенство \(\log_{5} 125 = \frac{1}{3}\) означало бы, что число 125 получается возведением числа 5 в степень \(\frac{1}{3}\). Но \(5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5}\), а не 125, поэтому равенство неверно. Так как \(5^{3} = 125\), то \(\log_{5} 125 = 3\).

4) Равенство \(\log_{3}\frac{1}{81} = -4\) означает, что \(3^{-4} = \frac{1}{81}\). Это так, поскольку \(3^{4} = 81\). Значит, равенство верно.

5) Равенство \(\log_{0{,}01} 10 = 2\) означало бы, что число 10 получается возведением числа \(0{,}01\) в квадрат. Но \(\left(0{,}01\right)^{2} = 0{,}0001\), а не 10, поэтому равенство неверно. Так как \(\left(0{,}01\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(10^{-2}\right)^{-\frac{1}{2}} = 10\), то \(\log_{0{,}01} 10 = -\frac{1}{2}\).

6) Равенство \(\lg 0{,}0001 = -4\) означает, что \(10^{-4} = 0{,}0001\). Это так, значит, равенство верно.

7) Представим основание и число в виде степеней тройки: \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\), \(3\sqrt[3]{3} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}\). Равенство \(\log_{\frac{1}{9}} 3\sqrt[3]{3} = \frac{2}{3}\) означало бы, что число \(3^{\frac{4}{3}}\) получается возведением числа \(\frac{1}{9}\) в степень \(\frac{2}{3}\). Но \(\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(3^{-2}\right)^{\frac{2}{3}} = 3^{-\frac{4}{3}}\), а не \(3^{\frac{4}{3}}\), поэтому равенство неверно. Так как \(\left(3^{-2}\right)^{-\frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}\), то \(\log_{\frac{1}{9}} 3\sqrt[3]{3} = -\frac{2}{3}\).

8) Равенство \(\log_{\sqrt{5}} 0{,}2 = -2\) означает, что \(\left(\sqrt{5}\right)^{-2} = 0{,}2\). Имеем: \(\left(\sqrt{5}\right)^{-2} = \frac{1}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}} = \frac{1}{5} = 0{,}2\). Значит, равенство верно.