Страница 29 номер 3.35, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(m\) неравенство \((m + 2) \cdot 4^{|x - 1|} - 2m \cdot 2^{|x - 1|} + 3m + 1 > 0\) выполняется при всех действительных \(x\)?
\(2^{|x - 1|} = t\). Так как \(|x - 1| \geqslant 0\) и основание 2 больше единицы, то \(2^{|x - 1|} \geqslant 2^{0}\), то есть \(t \geqslant 1\), причём \(t\) принимает каждое значение промежутка \([1;\ +\infty)\) и никаких других.
Так как \(4^{|x - 1|} = t^{2}\), нужны все значения параметра, при которых неравенство \((m + 2)t^{2} - 2mt + 3m + 1 > 0\) выполняется при всех значениях \(t\) из промежутка \([1;\ +\infty)\).
Сгруппируем слагаемые с параметром: \(m\left(t^{2} - 2t + 3\right) + 2t^{2} + 1 > 0\).
Так как \(t^{2} - 2t + 3 = (t - 1)^{2} + 2 > 0\) при всех значениях \(t\), то неравенство равносильно такому: \(m > -\frac{2t^{2} + 1}{t^{2} - 2t + 3}\), и нужно наименьшее значение дроби \(\frac{2t^{2} + 1}{t^{2} - 2t + 3}\).
Неравенство \(\frac{2t^{2} + 1}{t^{2} - 2t + 3} \geqslant \frac{3}{2}\) при положительном знаменателе равносильно неравенству \(2\left(2t^{2} + 1\right) \geqslant 3\left(t^{2} - 2t + 3\right)\), то есть \(t^{2} + 6t - 7 \geqslant 0\), или \((t + 7)(t - 1) \geqslant 0\); при \(t \geqslant 1\) оба множителя неотрицательны, поэтому произведение неотрицательно, причём равенство достигается только при \(t = 1\), то есть при \(x = 1\).
Значит, наименьшее значение дроби равно \(\frac{3}{2}\), наибольшее значение выражения \(-\frac{2t^{2} + 1}{t^{2} - 2t + 3}\) равно \(-\frac{3}{2}\) и достигается при \(t = 1\), поэтому неравенство выполняется при всех значениях \(t\) из промежутка \([1;\ +\infty)\) тогда и только тогда, когда \(m > -\frac{3}{2}\), то есть \(m > -1{,}5\).
Ответ: \(m > -1{,}5\).
При каких значениях параметра \(m\) неравенство \((m + 2) \cdot 4^{|x - 1|} - 2m \cdot 2^{|x - 1|} + 3m + 1 > 0\) выполняется при всех действительных \(x\)?
Положим \(2^{|x - 1|} = t\). Так как \(|x - 1| \geqslant 0\) и основание 2 больше единицы, то \(2^{|x - 1|} \geqslant 2^{0}\), то есть \(t \geqslant 1\). При этом выражение \(|x - 1|\) принимает каждое неотрицательное значение, поэтому переменная \(t\) принимает каждое значение из промежутка \([1;\ +\infty)\), и никаких других значений.
Так как \(4^{|x - 1|} = \left(2^{|x - 1|}\right)^{2} = t^{2}\), требуется найти все значения параметра, при которых неравенство \((m + 2)t^{2} - 2mt + 3m + 1 > 0\) выполняется при всех значениях \(t\) из промежутка \([1;\ +\infty)\).
Сгруппируем слагаемые с параметром: \(m\left(t^{2} - 2t + 3\right) + 2t^{2} + 1 > 0\).
Так как \(t^{2} - 2t + 3 = (t - 1)^{2} + 2 > 0\) при всех значениях \(t\), последнее неравенство равносильно такому: \(m > -\frac{2t^{2} + 1}{t^{2} - 2t + 3}\). Значит, требуется найти наибольшее значение правой части на промежутке \([1;\ +\infty)\), то есть наименьшее значение дроби \(\frac{2t^{2} + 1}{t^{2} - 2t + 3}\).
Покажем, что при \(t \geqslant 1\) выполняется неравенство \(\frac{2t^{2} + 1}{t^{2} - 2t + 3} \geqslant \frac{3}{2}\). Так как знаменатель положителен, оно равносильно неравенству \(2\left(2t^{2} + 1\right) \geqslant 3\left(t^{2} - 2t + 3\right)\), то есть \(t^{2} + 6t - 7 \geqslant 0\), или \((t + 7)(t - 1) \geqslant 0\). При \(t \geqslant 1\) оба множителя неотрицательны, поэтому произведение неотрицательно, причём равенство достигается только при \(t = 1\), то есть при \(x = 1\).
Значит, наименьшее значение дроби равно \(\frac{3}{2}\), а наибольшее значение выражения \(-\frac{2t^{2} + 1}{t^{2} - 2t + 3}\) равно \(-\frac{3}{2}\) и достигается при \(t = 1\). Поэтому неравенство \(m > -\frac{2t^{2} + 1}{t^{2} - 2t + 3}\) выполняется при всех значениях \(t\) из промежутка \([1;\ +\infty)\) тогда и только тогда, когда \(m > -\frac{3}{2}\), то есть \(m > -1{,}5\).
Ответ: \(m > -1{,}5\).
