Страница 22 номер 2.14, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

1) Вынесем в каждой части уравнения степень с наименьшим показателем: \[6^{x - 2}\left(6^{2} + 6 - 1\right) = 7^{x - 2}\left(7^{2} - 8\right);\ 41 \cdot 6^{x - 2} = 41 \cdot 7^{x - 2}.\]

Разделим обе части на \(41 \cdot 7^{x - 2}\): \(\left(\frac{6}{7}\right)^{x - 2} = \left(\frac{6}{7}\right)^{0}\).

Отсюда \(x - 2 = 0\); \(x = 2\).

2) Вынесем в левой части степень \(5^{x - 1}\), а в правой — степень \(3^{x - 2}\): \[5^{x - 1}(5 - 2) = 3^{x - 2}\left(3^{3} - 2\right);\ 3 \cdot 5^{x - 1} = 25 \cdot 3^{x - 2}.\]

Так как \(3^{x - 2} = \frac{3^{x - 1}}{3}\), уравнение принимает вид \(3 \cdot 5^{x - 1} = \frac{25}{3} \cdot 3^{x - 1}\).

Разделим обе части на \(3 \cdot 3^{x - 1}\): \(\left(\frac{5}{3}\right)^{x - 1} = \frac{25}{9}\), то есть \(\left(\frac{5}{3}\right)^{x - 1} = \left(\frac{5}{3}\right)^{2}\).

Отсюда \(x - 1 = 2\); \(x = 3\).

3) Уравнение имеет смысл при \(x \geqslant 0\).

Перенесём слагаемые со степенями числа 2 в левую часть уравнения, а со степенями числа 3 — в правую: \[2^{\sqrt{x} + 1} + 2^{\sqrt{x}} = 3^{\sqrt{x}} + 3^{\sqrt{x} - 1};\ 2^{\sqrt{x}}(2 + 1) = 3^{\sqrt{x} - 1}(3 + 1).\]

Так как \(3^{\sqrt{x} - 1} = \frac{3^{\sqrt{x}}}{3}\), получаем \(3 \cdot 2^{\sqrt{x}} = \frac{4}{3} \cdot 3^{\sqrt{x}}\).

Разделим обе части на \(3 \cdot 3^{\sqrt{x}}\): \(\left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{x}} = \frac{4}{9}\), то есть \(\left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{x}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2}\).

Отсюда \(\sqrt{x} = 2\); \(x = 4\). Это число удовлетворяет условию \(x \geqslant 0\).

Ответ: 1) 2; 2) 3; 3) 4.