Страница 22 номер 2.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 6^{x} + 2 \cdot 3^{2x} = 0\); 2) \(2^{2x + 1} - 7 \cdot 10^{x} + 25^{x + 0{,}5} = 0\); 3) \(7 \cdot 49^{x} + 3 \cdot 28^{x} = 4 \cdot 16^{x}\); 4) \(9^{x} + 4^{x} = 2 \cdot 6^{x}\).
1) Так как \(6^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x}\), разделим обе части на \(3^{2x} \ne 0\): \[3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{x} + 2 = 0.\]
Пусть \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = t\); тогда \(3t^2 - 5t + 2 = 0\), откуда \(t = 1\) или \(t = \frac{2}{3}\).
При \(t = 1\): \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = \left(\frac{2}{3}\right)^{0}\); \(x = 0\).
При \(t = \frac{2}{3}\): \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1}\); \(x = 1\).
2) Так как \(10^{x} = 2^{x} \cdot 5^{x}\), разделим обе части на \(5^{2x} \ne 0\): \[2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{x} + 5 = 0.\]
Пусть \(\left(\frac{2}{5}\right)^{x} = t\); тогда \(2t^2 - 7t + 5 = 0\), откуда \(t = 1\) или \(t = \frac{5}{2}\).
При \(t = 1\): \(\left(\frac{2}{5}\right)^{x} = \left(\frac{2}{5}\right)^{0}\); \(x = 0\).
При \(t = \frac{5}{2}\): \(\left(\frac{2}{5}\right)^{x} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\); \(x = -1\).
3) Так как \(28^{x} = 4^{x} \cdot 7^{x}\), разделим обе части на \(16^{x} \ne 0\): \[7 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{2x} + 3 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{x} - 4 = 0.\]
Пусть \(\left(\frac{7}{4}\right)^{x} = t\); тогда \(7t^2 + 3t - 4 = 0\), откуда \(t = \frac{4}{7}\) или \(t = -1\).
При \(t = \frac{4}{7}\): \(\left(\frac{7}{4}\right)^{x} = \left(\frac{7}{4}\right)^{-1}\); \(x = -1\).
При \(t = -1\): \(\left(\frac{7}{4}\right)^{x} = -1\) — корней нет, так как степень с положительным основанием положительна.
4) Так как \(6^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x}\), разделим обе части на \(4^{x} \ne 0\): \[\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{x} + 1 = 0.\]
Левая часть — квадрат разности: \(\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} - 1\right)^{2} = 0\), откуда \(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} = \left(\frac{3}{2}\right)^{0}\); \(x = 0\).
Ответ: 1) 0; 1; 2) \(-1\); 0; 3) \(-1\); 4) 0.
Решите уравнение: 1) \(3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 6^{x} + 2 \cdot 3^{2x} = 0\); 2) \(2^{2x + 1} - 7 \cdot 10^{x} + 25^{x + 0{,}5} = 0\); 3) \(7 \cdot 49^{x} + 3 \cdot 28^{x} = 4 \cdot 16^{x}\); 4) \(9^{x} + 4^{x} = 2 \cdot 6^{x}\).
1) Так как \(6^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x}\), уравнение принимает вид \(3 \cdot \left(2^{x}\right)^{2} - 5 \cdot 2^{x} \cdot 3^{x} + 2 \cdot \left(3^{x}\right)^{2} = 0\).
Так как \(3^{2x} \ne 0\) при любом \(x\), то, разделив обе части уравнения на \(3^{2x}\), получим уравнение, равносильное данному: \[3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{x} + 2 = 0.\]
Пусть \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = t\). Тогда \(3t^2 - 5t + 2 = 0\). Отсюда \(t = 1\) или \(t = \frac{2}{3}\).
Если \(t = 1\), то \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = \left(\frac{2}{3}\right)^{0}\); \(x = 0\).
Если \(t = \frac{2}{3}\), то \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1}\); \(x = 1\).
2) Так как \(2^{2x + 1} = 2 \cdot \left(2^{x}\right)^{2}\), \(10^{x} = 2^{x} \cdot 5^{x}\) и \(25^{x + 0{,}5} = 5 \cdot \left(5^{x}\right)^{2}\), разделим обе части уравнения на \(5^{2x}\) (это число отлично от нуля при любом \(x\)): \[2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{x} + 5 = 0.\]
Пусть \(\left(\frac{2}{5}\right)^{x} = t\). Тогда \(2t^2 - 7t + 5 = 0\). Отсюда \(t = 1\) или \(t = \frac{5}{2}\).
Если \(t = 1\), то \(\left(\frac{2}{5}\right)^{x} = \left(\frac{2}{5}\right)^{0}\); \(x = 0\).
Если \(t = \frac{5}{2}\), то \(\left(\frac{2}{5}\right)^{x} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\); \(x = -1\).
3) Так как \(49^{x} = \left(7^{x}\right)^{2}\), \(28^{x} = 4^{x} \cdot 7^{x}\) и \(16^{x} = \left(4^{x}\right)^{2}\), разделим обе части уравнения на \(16^{x} \ne 0\): \[7 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{2x} + 3 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{x} - 4 = 0.\]
Пусть \(\left(\frac{7}{4}\right)^{x} = t\). Тогда \(7t^2 + 3t - 4 = 0\). Отсюда \(t = \frac{4}{7}\) или \(t = -1\).
Если \(t = \frac{4}{7}\), то \(\left(\frac{7}{4}\right)^{x} = \left(\frac{7}{4}\right)^{-1}\); \(x = -1\).
Если \(t = -1\), то уравнение \(\left(\frac{7}{4}\right)^{x} = -1\) корней не имеет, так как степень с положительным основанием положительна.
4) Так как \(9^{x} = \left(3^{x}\right)^{2}\), \(6^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x}\) и \(4^{x} = \left(2^{x}\right)^{2}\), разделим обе части уравнения на \(4^{x} \ne 0\): \[\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{x} + 1 = 0.\]
Левая часть — квадрат разности: \(\left(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} - 1\right)^{2} = 0\). Отсюда \(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} = \left(\frac{3}{2}\right)^{0}\); \(x = 0\).
Ответ: 1) 0; 1; 2) \(-1\); 0; 3) \(-1\); 4) 0.
