Страница 21 номер 2.12, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Пусть \(3^{x} = t\); тогда \(3^{2x + 1} = 3t^{2}\) и \(3t^2 - 10t + 3 = 0\), откуда \(t = 3\) или \(t = \frac{1}{3}\).
При \(t = 3\): \(3^{x} = 3\);
\(x = 1\).
При \(t = \frac{1}{3}\): \(3^{x} = 3^{-1}\);
\(x = -1\).
2) Пусть \(2^{-x} = t\); тогда \(2^{3 - 2x} = 8t^{2}\), \(2^{1 - x} = 2t\) и \(8t^2 - 6t + 1 = 0\), откуда \(t = \frac{1}{2}\) или \(t = \frac{1}{4}\).
При \(t = \frac{1}{2}\): \(2^{-x} = 2^{-1}\);
\(x = 1\).
При \(t = \frac{1}{4}\): \(2^{-x} = 2^{-2}\);
\(x = 2\).
3) \(0{,}2^{x - 1} = 5^{1 - x} = \frac{5}{5^{x}}\), поэтому \(5^{x} - \frac{5}{5^{x}} = 4\).
Пусть \(5^{x} = t\), где \(t > 0\); умножив \(t - \frac{5}{t} = 4\) на \(t\), получаем \(t^2 - 4t - 5 = 0\), откуда \(t = 5\) или \(t = -1\).
При \(t = 5\): \(5^{x} = 5\);
\(x = 1\).
При \(t = -1\): \(5^{x} = -1\) — корней нет, так как \(5^{x} > 0\).
4) Пусть \(2^{x} = t\); тогда \(4^{x + 0{,}5} = 2t^{2}\) и \(2t^2 + 7t - 4 = 0\), откуда \(t = \frac{1}{2}\) или \(t = -4\).
При \(t = \frac{1}{2}\): \(2^{x} = 2^{-1}\);
\(x = -1\).
При \(t = -4\): \(2^{x} = -4\) — корней нет, так как \(2^{x} > 0\).
5) Умножим обе части на 5: \(3 \cdot 5^{2x} - 2 \cdot 5^{x} = 1\).
Пусть \(5^{x} = t\); тогда \(3t^2 - 2t - 1 = 0\), откуда \(t = 1\) или \(t = -\frac{1}{3}\).
При \(t = 1\): \(5^{x} = 5^{0}\);
\(x = 0\).
При \(t = -\frac{1}{3}\): \(5^{x} = -\frac{1}{3}\) — корней нет, так как \(5^{x} > 0\).
6) Уравнение имеет смысл при \(3^{x} \ne 6\); условие \(3^{x} \ne -6\) выполняется всегда, так как \(3^{x} > 0\).
Пусть \(3^{x} = t\), где \(t \ne 6\); умножив \(\frac{5}{t - 6} + \frac{5}{t + 6} = 2\) на \((t - 6)(t + 6)\), получаем \(10t = 2t^2 - 72\), то есть \(t^2 - 5t - 36 = 0\), откуда \(t = 9\) или \(t = -4\).
При \(t = 9\): \(3^{x} = 3^{2}\);
\(x = 2\), причём \(9 \ne 6\) — условие выполнено.
При \(t = -4\): \(3^{x} = -4\) — корней нет.
Ответ: 1) \(-1\); 1; 2) 1; 2; 3) 1; 4) \(-1\); 5) 0; 6) 2.
1) Так как \(3^{2x + 1} = 3 \cdot \left(3^{x}\right)^{2}\), данное уравнение удобно решать методом замены переменной.
Пусть \(3^{x} = t\). Тогда данное уравнение можно переписать так: \[3t^2 - 10t + 3 = 0.\]
Отсюда \(t = 3\) или \(t = \frac{1}{3}\).
Если \(t = 3\), то \(3^{x} = 3\). Отсюда \(x = 1\).
Если \(t = \frac{1}{3}\), то \(3^{x} = 3^{-1}\). Отсюда \(x = -1\).
2) Так как \(2^{3 - 2x} = 2^{3} \cdot 2^{-2x} = 8 \cdot \left(2^{-x}\right)^{2}\) и \(2^{1 - x} = 2 \cdot 2^{-x}\), положим \(2^{-x} = t\). Тогда данное уравнение принимает вид \[8t^2 - 6t + 1 = 0.\]
Отсюда \(t = \frac{1}{2}\) или \(t = \frac{1}{4}\).
Если \(t = \frac{1}{2}\), то \(2^{-x} = 2^{-1}\). Отсюда \(-x = -1\);
\(x = 1\).
Если \(t = \frac{1}{4}\), то \(2^{-x} = 2^{-2}\). Отсюда \(-x = -2\);
\(x = 2\).
3) Так как \(0{,}2 = 5^{-1}\), то \(0{,}2^{x - 1} = 5^{1 - x} = \frac{5}{5^{x}}\), и данное уравнение принимает вид \(5^{x} - \frac{5}{5^{x}} = 4\).
Пусть \(5^{x} = t\). Так как \(5^{x} > 0\) при любом \(x\), обе части уравнения \(t - \frac{5}{t} = 4\) можно умножить на \(t\): \[t^2 - 4t - 5 = 0.\]
Отсюда \(t = 5\) или \(t = -1\).
Если \(t = 5\), то \(5^{x} = 5\). Отсюда \(x = 1\).
Если \(t = -1\), то \(5^{x} = -1\). Так как \(5^{x} > 0\) при любом \(x\), это уравнение корней не имеет.
4) Так как \(4^{x + 0{,}5} = 4^{0{,}5} \cdot 4^{x} = 2 \cdot \left(2^{x}\right)^{2}\), положим \(2^{x} = t\). Тогда данное уравнение принимает вид \[2t^2 + 7t - 4 = 0.\]
Отсюда \(t = \frac{1}{2}\) или \(t = -4\).
Если \(t = \frac{1}{2}\), то \(2^{x} = 2^{-1}\). Отсюда \(x = -1\).
Если \(t = -4\), то \(2^{x} = -4\). Так как \(2^{x} > 0\) при любом \(x\), это уравнение корней не имеет.
5) Умножим обе части уравнения на 5. Получим равносильное уравнение \(3 \cdot 5^{2x} - 2 \cdot 5^{x} = 1\).
Пусть \(5^{x} = t\). Тогда \(5^{2x} = t^2\), и уравнение принимает вид \[3t^2 - 2t - 1 = 0.\]
Отсюда \(t = 1\) или \(t = -\frac{1}{3}\).
Если \(t = 1\), то \(5^{x} = 5^{0}\). Отсюда \(x = 0\).
Если \(t = -\frac{1}{3}\), то уравнение \(5^{x} = -\frac{1}{3}\) корней не имеет, так как \(5^{x} > 0\) при любом \(x\).
6) Данное уравнение имеет смысл при \(3^{x} \ne 6\) и \(3^{x} \ne -6\); второе условие выполняется при любом \(x\), так как \(3^{x} > 0\).
Пусть \(3^{x} = t\), где \(t \ne 6\). Умножим обе части уравнения \(\frac{5}{t - 6} + \frac{5}{t + 6} = 2\) на \((t - 6)(t + 6)\): \(5(t + 6) + 5(t - 6) = 2\left(t^2 - 36\right)\);
\(10t = 2t^2 - 72\); \[t^2 - 5t - 36 = 0.\]
Отсюда \(t = 9\) или \(t = -4\).
Если \(t = 9\), то \(3^{x} = 3^{2}\). Отсюда \(x = 2\); при этом \(3^{2} = 9 \ne 6\), то есть условие выполнено.
Если \(t = -4\), то уравнение \(3^{x} = -4\) корней не имеет.
Ответ: 1) \(-1\); 1; 2) 1; 2; 3) 1; 4) \(-1\); 5) 0; 6) 2.
