Страница 20 номер 2.5, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(2^{2x} - 6 \cdot 2^{x} + 8 = 0\); 2) \(9^{x} - 6 \cdot 3^{x} - 27 = 0\); 3) \(25^{x} - 5^{x} - 20 = 0\); 4) \(100 \cdot 0{,}3^{2x} + 91 \cdot 0{,}3^{x} - 9 = 0\).
1) Так как \(2^{2x} = \left(2^{x}\right)^{2}\), положим \(2^{x} = t\): \[t^{2} - 6t + 8 = 0.\]
Отсюда \(t = 2\) или \(t = 4\).
При \(t = 2\) имеем \(2^{x} = 2\), откуда \(x = 1\).
При \(t = 4\) имеем \(2^{x} = 2^{2}\), откуда \(x = 2\).
2) Так как \(9^{x} = \left(3^{x}\right)^{2}\), положим \(3^{x} = t\): \[t^{2} - 6t - 27 = 0.\]
Отсюда \(t = 9\) или \(t = -3\).
При \(t = 9\) имеем \(3^{x} = 3^{2}\), откуда \(x = 2\).
При \(t = -3\) уравнение \(3^{x} = -3\) корней не имеет: \(3^{x} > 0\) при любом \(x\).
3) Так как \(25^{x} = \left(5^{x}\right)^{2}\), положим \(5^{x} = t\): \[t^{2} - t - 20 = 0.\]
Отсюда \(t = 5\) или \(t = -4\).
При \(t = 5\) имеем \(5^{x} = 5\), откуда \(x = 1\).
При \(t = -4\) уравнение \(5^{x} = -4\) корней не имеет: \(5^{x} > 0\) при любом \(x\).
4) Так как \(0{,}3^{2x} = \left(0{,}3^{x}\right)^{2}\), положим \(0{,}3^{x} = t\): \[100t^{2} + 91t - 9 = 0.\]
\(D = 91^{2} + 4 \cdot 100 \cdot 9 = 8281 + 3600 = 11\,881 = 109^{2}\), поэтому \(t = \frac{-91 + 109}{200} = 0{,}09\) или \(t = \frac{-91 - 109}{200} = -1\).
При \(t = 0{,}09\) имеем \(0{,}3^{x} = 0{,}3^{2}\), откуда \(x = 2\).
При \(t = -1\) уравнение \(0{,}3^{x} = -1\) корней не имеет: \(0{,}3^{x} > 0\) при любом \(x\).
Ответ: 1) 1; 2; 2) 2; 3) 1; 4) 2.
Решите уравнение: 1) \(2^{2x} - 6 \cdot 2^{x} + 8 = 0\); 2) \(9^{x} - 6 \cdot 3^{x} - 27 = 0\); 3) \(25^{x} - 5^{x} - 20 = 0\); 4) \(100 \cdot 0{,}3^{2x} + 91 \cdot 0{,}3^{x} - 9 = 0\).
1) Так как \(2^{2x} = \left(2^{x}\right)^{2}\), данное уравнение удобно решать методом замены переменной.
Пусть \(2^{x} = t\). Тогда данное уравнение можно переписать так: \[t^{2} - 6t + 8 = 0.\]
Отсюда \(t = 2\) или \(t = 4\).
Если \(t = 2\), то \(2^{x} = 2\). Отсюда \(x = 1\).
Если \(t = 4\), то \(2^{x} = 2^{2}\). Отсюда \(x = 2\).
2) Так как \(9^{x} = \left(3^{x}\right)^{2}\), положим \(3^{x} = t\). Тогда данное уравнение принимает вид \[t^{2} - 6t - 27 = 0.\]
Отсюда \(t = 9\) или \(t = -3\).
Если \(t = 9\), то \(3^{x} = 3^{2}\). Отсюда \(x = 2\).
Если \(t = -3\), то \(3^{x} = -3\). Так как \(3^{x} > 0\) при любом \(x\), это уравнение корней не имеет.
3) Так как \(25^{x} = \left(5^{x}\right)^{2}\), положим \(5^{x} = t\). Тогда данное уравнение принимает вид \[t^{2} - t - 20 = 0.\]
Отсюда \(t = 5\) или \(t = -4\).
Если \(t = 5\), то \(5^{x} = 5\). Отсюда \(x = 1\).
Если \(t = -4\), то уравнение \(5^{x} = -4\) корней не имеет, так как \(5^{x} > 0\) при любом \(x\).
4) Так как \(0{,}3^{2x} = \left(0{,}3^{x}\right)^{2}\), положим \(0{,}3^{x} = t\). Тогда данное уравнение принимает вид \[100t^{2} + 91t - 9 = 0.\]
Дискриминант этого уравнения \(D = 91^{2} + 4 \cdot 100 \cdot 9 = 8281 + 3600 = 11\,881 = 109^{2}\), поэтому \(t = \frac{-91 + 109}{200} = 0{,}09\) или \(t = \frac{-91 - 109}{200} = -1\).
Если \(t = 0{,}09\), то \(0{,}3^{x} = 0{,}3^{2}\). Отсюда \(x = 2\).
Если \(t = -1\), то уравнение \(0{,}3^{x} = -1\) корней не имеет, так как \(0{,}3^{x} > 0\) при любом \(x\).
Ответ: 1) 1; 2; 2) 2; 3) 1; 4) 2.
