Страница 22 номер 2.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(4 \cdot 9^{x} - 7 \cdot 12^{x} + 3 \cdot 16^{x} = 0\); 2) \(5 \cdot 2^{x} + 2 \cdot 5^{x} = 7 \cdot 10^{\frac{x}{2}}\).
1) Так как \(12^{x} = 3^{x} \cdot 4^{x}\), разделим обе части на \(16^{x} \ne 0\): \[4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{x} + 3 = 0.\]
Пусть \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x} = t\); тогда \(4t^2 - 7t + 3 = 0\), откуда \(t = 1\) или \(t = \frac{3}{4}\).
При \(t = 1\): \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x} = \left(\frac{3}{4}\right)^{0}\); \(x = 0\).
При \(t = \frac{3}{4}\): \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x} = \left(\frac{3}{4}\right)^{1}\); \(x = 1\).
2) Разделим обе части на \(10^{\frac{x}{2}} = 2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}} \ne 0\): \[5 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = 7.\]
Пусть \(\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = t\), где \(t > 0\); тогда \(\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{1}{t}\) и \(5t + \frac{2}{t} = 7\); умножив на \(t\), получаем \(5t^2 - 7t + 2 = 0\), откуда \(t = 1\) или \(t = \frac{2}{5}\).
При \(t = 1\): \(\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{0}\); \(\frac{x}{2} = 0\); \(x = 0\).
При \(t = \frac{2}{5}\): \(\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{1}\); \(\frac{x}{2} = 1\); \(x = 2\).
Ответ: 1) 0; 1; 2) 0; 2.
Решите уравнение: 1) \(4 \cdot 9^{x} - 7 \cdot 12^{x} + 3 \cdot 16^{x} = 0\); 2) \(5 \cdot 2^{x} + 2 \cdot 5^{x} = 7 \cdot 10^{\frac{x}{2}}\).
1) Так как \(9^{x} = \left(3^{x}\right)^{2}\), \(12^{x} = 3^{x} \cdot 4^{x}\) и \(16^{x} = \left(4^{x}\right)^{2}\), разделим обе части уравнения на \(16^{x}\) (это число отлично от нуля при любом \(x\)): \[4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{x} + 3 = 0.\]
Пусть \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x} = t\). Тогда \(4t^2 - 7t + 3 = 0\). Отсюда \(t = 1\) или \(t = \frac{3}{4}\).
Если \(t = 1\), то \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x} = \left(\frac{3}{4}\right)^{0}\); \(x = 0\).
Если \(t = \frac{3}{4}\), то \(\left(\frac{3}{4}\right)^{x} = \left(\frac{3}{4}\right)^{1}\); \(x = 1\).
2) Так как \(10^{\frac{x}{2}} = 2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}} \ne 0\) при любом \(x\), разделим на это число обе части уравнения. Учитывая, что \(\frac{2^{x}}{2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}}\) и \(\frac{5^{x}}{2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}}} = \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}}\), получаем равносильное уравнение \[5 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = 7.\]
Пусть \(\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = t\). Тогда \(\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{1}{t}\) и \(5t + \frac{2}{t} = 7\). Так как \(t > 0\), умножим обе части на \(t\): \[5t^2 - 7t + 2 = 0.\]
Отсюда \(t = 1\) или \(t = \frac{2}{5}\).
Если \(t = 1\), то \(\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{0}\). Отсюда \(\frac{x}{2} = 0\); \(x = 0\).
Если \(t = \frac{2}{5}\), то \(\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = \left(\frac{2}{5}\right)^{1}\). Отсюда \(\frac{x}{2} = 1\); \(x = 2\).
Ответ: 1) 0; 1; 2) 0; 2.
